Espacios Vectoriales

Tema 2: Espacios Vectoriales. Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales: Definición y primeras propiedades, suma directa.

Dado un cuerpo k, se llama k-espacio vectorial a un conjunto V con una operación interna, +, y una operación externa con dominio de operadores en k, ·, que verifica las siguientes condiciones:

(V,+) es un grupo abeliano (el neutro lo denotamos 0; el opuesto de un elemento aV, se denota -a).

t·(a+b) = t·a + t·b Vtk Va,bV

(t+s)·a = t·a + s·a Vt,sk VaV

t·(s·a) = (ts)·a Vt,sk VaV

1k·a = a VaV

Los elementos de V los llamaremos vectores.

Los elementos del cuerpo k los llamaremos escalares.

Propiedades: V es un k-espacio vectorial. Se tiene:

0·a = 0 VaV

(-1)·a = -a VaV

t·0 = 0 Vtk

Si t·a = 0 !t = 0 ó a = 0

Dado un k-espacio vectorial, V, un subconjunto S de V se dice que es subespacio vectorial de V si S es espacio vectorial con las mismas operaciones que teníamos en V.

+ ha de ser interna en S

·k ha de ser t·a  S VaS VT

S " ø, 0S

a+b  S Va,bS

En general,

S = V siempre es subespacio

S = {0} siempre es subespacio

V = kn ! S = {akn; 1ª coordenada es 0} si es subespacio de V

V = kn ! S = {akn; 1ª coordenada es 1} no es subespacio vectorial de V

V es un k-espacio vectorial S"V S es subespacio vectorial de V

V = k[x] es k-espacio vectorial

S = {polinomios de grado " n} " k[x]

Proposición: Sea V un k-espacio vectorial S"V. Son equivalentes:

S es subespacio vectorial de V

ta + sb  S Va,bS Vt,sk y S" ø

a+b  S, ta  S Va,bS Vtk y S" ø

Dado un k-espacio vectorial V y dos subespacios S1, S2 de V se llama intersección de S1 y S2 al conjunto S1"S2.

Proposición: La intersección de subespacios vectoriales de V es un subespacio vectorial.

El mayor subespacio contenido en unos cuantos que nos dan es la intersección.

La unión de subespacios no es, en general, un subespacio.

Dados S1,…,Sr número finito de subespacios vectoriales de V, se llama suma de S1,…,Sr al conjunto S1 + … + Sr := {a1 + … + ar; aiSi Vi}

Proposición: S1 + … + Sr es el menor subespacio que contiene a S1,…,Sr.

Se dice que la suma S1+…+Sr es directa si cada vector de la suma, a(S1+…+Sr), se obtiene de una única manera sumando vectores de los Si. O sea, si a1+…+ar = b1+…+br con ai,biSi Vi tiene que ser a1 = b1, …, ar = br.

En ese caso se escribe S1 "…" Sr.

Proposición: S1,…,Sr " V. Son equivalentes:

La suma S1+…+Sr es directa.

Si a1+…+ar = 0 con aiSi Vi, entonces ai = 0 Vi.

(El 0 sólo se obtiene sumando 0 de cada Sr).

Si " (S1+..i..+Sr) = 0 Vi.

Nota: Si tenemos la suma de dos subespacios, S y T, entonces la suma es directa si y sólo si S"T = 0.

Dos subespacios S y T se dice que son suplementarios si se cumple que S"T = V, luego S+T = V y S"T = 0.

Dependencia e independencia lineal.

V un k-espacio vectorial. Una familia es un conjunto en el que puede haber elementos repetidos.

Dada una familia F de vectores de V se llama clausura lineal de F, y se denota K(F), al subespacio vectorial de V más pequeño que contenga a F.

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