Estimación por intérvalo
Enviado por Margara2017 • 5 de Septiembre de 2019 • Apuntes • 1.568 Palabras (7 Páginas) • 478 Visitas
UNIDAD 3: ESTIMACIÓN POR INTÉRVALO
3.1 Intervalos de confianza
3.1.1 Definición
3.1.2 Componentes
3.1.3 Interpretación
3.2 Intervalo de confianza para la media
3.2.1 Varianza poblacional conocida
3.2.2 Varianza poblacional desconocida
3.3 Intervalo de confianza para una proporción
3.4 Intervalo de confianza para la varianza
3.5 Intervalo de confianza para la diferencia de medias
3.5.1 Muestras independientes
3.5.2 Muestras dependientes
3.6 Intervalos de confianza para la diferencia de proporciones
3.7 Tamaño de muestra
3.1 Intervalos de confianza
En la unidad anterior se dijo que un estimador puntual es un estadístico muestral que se usa para estimar un parámetro poblacional. Por ejemplo, la media muestral es un estimador puntual d la media poblacional µ y la proporción muestral es un estimador puntual de la proporción poblacional p. [pic 1][pic 2]
Como no se puede esperar que un estimador puntual suministre el valor exacto del parámetro poblacional, se suele calcular una estimación por intervalo al sumar y restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error. La fórmula general de una estimación por intervalo es:
[pic 3]
El objetivo de la estimación por intervalo es aportar la información de qué tan cerca se encuentra la estimación puntual obtenida de la muestra, del valor del parámetro poblacional.
La fórmula general para obtener una estimación por intervalo para la media poblacional es:
[pic 4]
De manera similar, la fórmula general para obtener una estimación por intervalo para la proporción poblacional es:
[pic 5]
Las distribuciones muestrales son clave para calcular estas estimaciones por intervalo.
Con objeto de obtener una estimación por intervalo para la media poblacional, se necesita la desviación estándar poblacional o la desviación estándar muestral s para calcular el margen de error.[pic 6]
En la mayor parte de los casos, no se conoce y para calcular el margen de error se emplea . Sin embargo, en algunas ocasiones, se cuenta con una gran cantidad de datos anteriores (históricos) que se pueden usar para calcular la desviación estándar poblacional antes de tomar la muestra.[pic 7][pic 8]
EJEMPLO. Cada semana, la empresa Lloyd’s Department Store selecciona una muestra aleatoria simple de 100 clientes con objeto de conseguir información acerca de la cantidad que gastan en cada visita a la tienda. Si x representa la cantidad gastada en cada visita de la tienda, la media muestral es una estimación puntual de µ, la cantidad media gastada en cada visita a la tienda por la población formada por los clientes de Lloyd’s Department Store. Lloyd’s ha estado realizando estos estudios semanales durante varios años. Con base en sus datos anteriores, Lloyd’s supone que el valor conocido de la desviación estándar poblacional es . Los datos anteriores (históricos) indican también que la población tiene una disminución normal. [pic 9]
En la última semana, en su estudio de 100 clientes (h=100), Loyd’s obtuvo como media muestral un valor de $82. La media muestral de la cantidad gastada permite una estimación puntual de la media poblacional de la cantidad gastada en cada visita, .[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
Distribución muestral de la media muestral de las cantidades gastadas en muestras aleatorias simples de 100 clientes.
[pic 15]
[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
[pic 22][pic 23]
[pic 24][pic 25]
En la tabla de probabilidad normal estándar se encuentra que 95% de los valores de cualquier variable aleatoria distribuida normalmente aparecen dentro de ± 1.96 desviaciones estándar.
Varianza Conocida. Suponga que la variable aleatoria de interés x se puede moldear adecuadamente para una distribución (no necesariamente normal) con media y varianza se cuenta con una muestra aleatoria de tamaño n de x. suponga que además que es conocida y que se desea estimar mediante un intervalo.[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
La técnica general para encontrar intervalos de confianza es partir de una estimador puntual del parámetro de interés, en este caso . Se sabe que es un estimador puntual de y su distribución de muestreo esta dada por [pic 31][pic 32][pic 33]
)[pic 34]
3.2.1 Varianza Conocida
Si la variable aleatoria x sigue una distribución normal, entonces la distribución de muestreo para es válida para cualquier valor del tamaño de la muestra n. sin embargo, si la variable aleatoria x no sigue una distribución normal, entonces la distribución de muestreo para tiene validez si el tamaño de muestra es grande y se justifica por el teorema central del límite. [pic 35][pic 36]
Para poder determinar los límites del intervalo en forma general, se pretende encontrar una función del estimador y del parámetro cuya distribución no dependa de cantidades desconocidas, por ejemplo
}[pic 37]
De esta manera se pueden encontrar (en tablas) los puntos críticos. y , tales que la probabilidad que hay entre ellos bajo una distribución N (0,1) es 1-α, es decir:[pic 38][pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
Los puntos extremos del enunciado probabilístico anterior forman un intervalo aleatorio para , debido a que son funciones de la variable aleatoria .[pic 43][pic 44]
Al observar un valor de la muestra, la estadística toma el valor . Sustituyendo el valor observando en el intervalo aleatorio, se obtiene que un intervalo de confianza para cuando es conocida, está dada por:[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
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