Evolución de la Geometría Descriptiva y sus aplicaciones actuales

Evolución de la Geometría Descriptiva y sus aplicaciones actuales

La Geometría Descriptiva comienza con simples trazos, y luego esos trazos se transforman en proyecciones, que principalmente son aplicadas a las fortificaciones, y así dando resultado una nueva ciencia conocida como la “Geometría Descriptiva”. No es, sino hasta 1795 que ésta nueva ciencia se empieza a enseñar por primera vez en Francia, de forma metódica y concreta. Gaspard Monge es quien termina de imponer esta nueva ciencia, la geometría descriptiva empezó buscando y aprovechando el prestigio de la conocida geometría analítica, siendo ésta su contraste. Desde entonces y durante todo el siglo XIX los responsables de la producción teórica y la docencia de la geometría descriptiva, se dieron cuenta que la perfección de esta disciplina consistiría en alcanzar una organización ideal al modo de las diversas ramas de la matemática. [pic 1]

Uno de los múltiples elementos de la geometría descriptiva y de los más sencillos es “El punto en el sistema diédrico”, así como cualquier elemento el punto diédrico tendrá dos proyecciones, una sobre cada plano de proyección, Una proyección vertical en el plano de proyección vertical, y otra proyección horizontal en el plano de proyección horizontal. La representación en el sistema diédrico de un punto cualquiera se hace a partir de una línea perpendicular a la LT, midiendo en la proyección vertical la cota del punto y en la proyección horizontal el alejamiento del punto. A la distancia que hay desde el punto al plano horizontal se le denomina “cota”. A la distancia que hay desde el punto al plano vertical se le denomina “alejamiento”.  [pic 2]

Las trazas de la recta, se les denomina así a los puntos de intersección de esta con los planos de proyección horizontal, vertical y, en su caso, de perfil. Como cualquier otro punto, las trazas de la recta se representan por sus proyecciones horizontales y verticales. Se denomina Traza Horizontal de una recta a la intersección de la recta con el plano horizontal de proyección, se designa con hache mayúscula, H y como cualquier otro punto, tiene proyección vertical (h’) y proyección horizontal (h), esta última coincidente con la verdadera traza. Se denomina Traza Vertical de una recta a la intersección de la recta con el plano vertical de proyección, se designa con uve mayúscula, V y como cualquier otro punto tiene proyección vertical (v’) coincidente con la verdadera traza y proyección horizontal (v). Conocidas las trazas de la recta se pueden dibujar las proyecciones horizontal y vertical de la misma. También se puede dar el caso inverso, conocidas sus proyecciones, calcular las trazas. Según algunos autores, la designación de las trazas debe ser V” y V’ para las proyecciones vertical y horizontal de la traza vertical respectivamente y H”, H’ para las proyecciones vertical y horizontal de la traza horizontal, respectivamente. [pic 3]

El plano en el sistema diédrico, se representa por sus trazas, las trazas de un plano son las rectas de intersección entre éste y los planos de proyección. Un plano puede tener una o dos trazas. Las trazas de un plano serán siempre rectas situadas en los planos de proyección, por lo que una de sus proyecciones estará sobre la tierra. Para simplificar el trazo se prescinde de esa proyección se nombra con el nombre del plano. Una recta pertenece a un plano, si la traza vertical de la recta es un punto de la traza vertical del plano y, además, la traza horizontal de la recta es un punto de la traza horizontal del plano. Un plano puede venir dado directamente en sistema diédrico si nos aclaran la situación exacta de sus trazas. Frecuentemente tendremos que hallar las trazas de un plano que venga determinado de otro modo. [pic 4]

Representación de un volumen geométrico. Un cuerpo geométrico se representa mediante la proyección de sus aristas, sus generatrices extremas, o su contorno (esfera). Las aristas o generatrices más próximas al punto de vista se representan como segmentos de trazo continuo, y las posteriores, u ocultas, mediante segmentos de trazo discontinuo. Las zonas seccionadas se indican mediante trazos paralelos inclinados. [pic 5]

Como se observa anteriormente el sistema diédrico es una parte muy importante de la geometría descriptiva, ya que, La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas geométricas que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional. Por tanto, mediante una «lectura» adecuada posibilita resolver problemas espaciales en dos dimensiones de modo que se garantiza la reversibilidad del proceso. Y como bien se sabe la geometría es una parte de las matemáticas mediante la cual se estudian las propiedades y las medidas de las figuras en el plano y en el espacio. Existen diversos tipos de geometrías como la “geometría algebraica”, que es la aplicación del álgebra a la geometría para, por medio del cálculo, resolver ciertos problemas. También está la “geometría analítica” que estudia las figuras mediante un sistema de coordenadas y métodos de análisis matemático. Al igual está la geometría diferencial que trata sobre las curvas y superficies con los recursos del cálculo infinitesimal y de la topología general. Por otro lado, también está la geometría plana, en donde se consideran las figuras cuyos puntos están todos en un plano. Y la geometría proyectiva que trata sobre las proyecciones de las figuras sobre un plano. [pic 6]

Algunas bases de la geometría descriptiva son, la solución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano, la representación de las figuras de los sólidos en un plano, y suministrar las bases del dibujo técnico. El dibujo técnico es un sistema de representación gráfica de diversos tipos de objetos, con el propósito de proporcionar información suficiente para facilitar su análisis, ayudar a elaborar su diseño y posibilitar su futura construcción y mantenimiento. Suele realizarse con el auxilio de medios informatizados o, directamente, sobre el papel u otros soportes planos. El dibujo técnico arquitectónico abarca una gama de representaciones gráficas con las cuales se realizan los planos para la construcción de edificios, casas, quintas, autopistas, iglesias, fábricas y puentes entre otros. Se dibuja el proyecto con instrumentos precisos, con sus respectivos detalles, ajuste y correcciones, donde aparecen los planos de planta, fachadas, secciones, perspectivas, fundaciones, columnas, detalles y otros. [pic 7]

El paralelismo, En sistema diédrico, dos rectas paralelas presentan sus proyecciones correspondientes también paralelas. En general y siempre que se trate de proyecciones cilíndricas, dos rectas paralelas siempre presentan sus proyecciones paralelas. El teorema recíproco no tiene por qué ser cierto, dadas dos proyecciones paralelas entre sí, las rectas que las generan no tienen necesariamente que ser paralelas entre sí. Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones correspondientes son paralelas, un plano es paralelo a una recta cuando contiene una recta paralela a la primera. También se dice que un plano es paralelo a una recta si existe otro plano paralelo al primero que contenga a la recta. El paralelismo no se conserva entre las proyecciones diédricas de una recta y las trazas de un plano que lo sean entre sí. En Sistema diédrico, una recta es paralela a un plano si es paralela a una de las rectas del plano. Son infinitas las rectas del plano e infinitas las rectas paralelas a una de ellas. [pic 8]

La perpendicularidad, dos rectas son perpendiculares entre sí cuando se cortan o se cruzan formando un ángulo recto. Dos planos o una recta y un plano son perpendiculares entre sí cuando se cortan formando un ángulo recto. En sistema diédrico y en general en los sistemas que utilizan proyecciones cilíndricas, la perpendicularidad no se conserva entre las proyecciones homónimas de las rectas ni entre las trazas correspondientes de los planos. Sin embargo, en sistema diédrico sí se conserva la perpendicularidad entre las trazas de un plano y las proyecciones correspondientes de las rectas perpendiculares a este. Existe un teorema de las tres perpendiculares que dice que “una recta R normal a un plano P muestra su proyección cilíndrica r sobre un segundo plano Q normal a la traza Pt existente entre los planos”. Al ser R normal a P lo es a todas sus rectas y por tanto a Pt, traza entre Q y P. Por otra parte, Pt es una recta de Q por lo que la proyección r de R sobre Q debe ser perpendicular a la traza Pt. Si se extrapola este teorema al sistema diédrico se puede comprender como efectivamente, la perpendicularidad entre las trazas y las proyecciones homónimas de planos y rectas normales entre sí. Las rectas perpendiculares entre sí, debido a la deformación angular que se experimenta en toda proyección, no se conserva en sistema diédrico ortogonal la perpendicularidad entre las proyecciones homónimas de rectas perpendiculares. Los planos perpendiculares entre sí, la perpendicularidad tampoco se conserva entre las trazas homónimas de planos perpendiculares. Un plano P que contenga a una recta R perpendicular a otro plano Q es perpendicular también a Q. [pic 9]

Proyecciones del círculo, La proyección de una circunferencia es, generalmente, una elipse. Sera otra circunferencia semejante si está contenida en un plano paralelo a uno principal. Puede ser un segmento si esta de perfil respecto de un plano principal, siendo su longitud la del diámetro. Un círculo en el espacio está determinado cuando se conocen: el plano que lo contiene, un punto en él como centro y la dimensión de su radio en verdadera magnitud. La proyección ortogonal de un círculo contenido en un plano oblicuo respecto al de proyección y en general su proyección cilíndrica sobre cualquier plano no paralelo, es una elipse, razón por la cual el estudio de las proyecciones del círculo se relaciona íntimamente con las propiedades de la elipse. [pic 10]

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