Flujo De Agua En Canales Y La Ecuación De Chezy

Flujo de agua en canales y la Ecuación de Chezy

Introducción: Para comprender el flujo de agua a través de un canal trapecial es necesario conocer en forma detallada su geometría y las fuerzas que intervienen en el flujo.

Figura 1. Características geométricas de la sección de conducción o transversal de un canal trapecial, donde: si m = 0, el canal es rectangular, si b = 0 el canal es triangular.

Problema 1-1. Si es el centro geométrico de la superficie del trapecio medido de la superficie del agua al fondo del canal demuestre que: .

Problema 1-1-1. Demuestre que al derivar: dA/dy el resultado es el ancho superficial T.

Figura 2. Figura de cuerpo libre de las Fuerzas en el eje x que intervienen en el movimiento del bloque de agua entre las secciones 1 y 2 en un canal.

Nomenclatura

z = altura del fondo del canal con respecto a una horizontal o nivel de referencia.

L12 = Distancia del fondo del canal entre el punto 1 y 2.

Ar = Área donde el agua roza las paredes del canal y es igual a: Ar = P•L12. Ver el Anexo 2 para una mejor comprensión de esta variable.

θ = Ángulo de inclinación del fondo del canal

So = sin(θ) = (z1 – z2)/ L12 es la pendiente del fondo del canal

Q = El flujo o gasto o caudal de la corriente de agua en m3/s. Que es constante a lo largo del canal (L12 ).

V = velocidad media del flujo de agua := Q/A (ecuación del gasto) y es variable según sea el valor de la profundidad y.

a = aceleración del flujo de agua al cambiar su velocidad de V1 a V2.

W = peso del bloque de Agua = γ•A•L12. Ver el Anexo 2 para una mejor comprensión de esta variable.

W•sin(θ) = peso del bloque de Agua paralelo al fondo del canal.

m = masa del bloque de agua = W/g, donde g = gravedad = 9.81 m/s2.

Fp = Fuerza de presión hidrostática = (ver Anexo 1)

Ff = fuerza de fricción que según Chezy es igual a: Ff = ε1•Ar•Vm2, o sea, depende de que tan grande sea el área de rozamiento y la velocidad Vm la cual es una media de (V1 + V2)/2 y finalmente de ε1 que es una constante que depende de que tan rugosas sean las paredes.

Problema 1-2. Demuestre que la aceleración a es igual: . Sugerencia: la acele-ración se define como: a = dv/dt y la velocidad como: v = dx/dt.

Ejercicio 1-1: Para el caso de la figura 2, , expresado como diferencias finitas se reduce a lo siguiente: si v es la velocidad se asume que: v = (V2 + V1)/2, dv es el incremento de velocidades y la definición de incremento es, dv = (V2 – V1) y dx es la distancia del punto 1 a 2, o sea, dx = L12, entonces:

Problema 1-3: Si a lo largo de la longitud L12 del canal de la figura 2 la profundidad en el canal es constante, esto es: y1 = y2, el fondo del canal b, la pendiente de talud m y el gasto Q también son constantes, entonces:

3.1) El área de conducción A de la figura 1 a lo largo de L12 es:

a) Mayor, b) Diferente, c) Igual, d) Menor.

3.2) La velocidad V1 con respecto a V2 (ver figura 2) son:

a) Constante, b) Mayor, c) Diferente, d) Menor.

3.3) La Fuerza Hidrostática Fp de la figura 2 a lo largo de L12 es:

a) Mayor, b) Igual, c) Menor, d) Diferente

1) FLUJO UNIFORME

Si un gasto constante Q fluye por un canal de longitud L12 que tiene:

• El mismo ancho de fondo b.

• La misma pendiente de talud m.

• Esta excavado o revestido en el mismo tipo de material ε1.

y si la profundidad de la lámina de agua y es constante (y1 = y2) a lo largo de la longitud se dice que: que el FLUJO ES UNIFORME.

El problema 2.0 describe las propiedades de este flujo a lo largo de la longitud L12 que son:

• La velocidad es constante ( no hay aceleración; a = 0 m/s2)

• El área de conducción A es constante

• Las fuerzas hidrostáticas de presión son constantes.

El análisis de fuerzas sobre el eje x del bloque de agua de la figura 2 es el siguiente:

(1.1)

Si el Flujo es Uniforme la ec. (1.1) según los resultados del problema 3, se reduce a:

(1.2)

Esto significa que el peso del agua Wsin(θ) es compensado por las fuerzas de fricción.

Problema 1-4.) Si la fuerza de fricción es: Ff = ε1•Ar•V2, el área de rozamiento es, Ar = P•L12 y el peso del agua es, W = γ•A•L12 (ver Anexo 2 para estas formulas), demuestre a través de la ecuación (1.2) que el valor de la velocidad V en el canal es:

(1.3)

1.1) La Ecuación de Chezy

La formula (1.3) con los siguientes cambios: 1) C = (γ/ε1)1/2 = constante de Chezy, 2) R= A/P = Radio Hidráulico, So = sin(θ), es la ecuación de Chezy para flujo uniforme.

(1.4)

Problema 1-5. Un canal rectangular con paredes revestidas de concreto con una constante de Chezy de; C = 65 m1/2/s y una pendiente de fondo So = 2/1000, conduce un gasto Q = V•A, determine el valor de Q si:

1) El canal tiene un ancho b = 2.0 m y una profundidad y = 1.0 m.

2) El canal tiene un ancho b = 5.0 m y una profundidad y = 0.4 m.

Nota: El problema 5 tiene el objetivo de mostrar que si el área A es constante la velocidad disminuye cuando el perímetro P aumenta. Expresar la formula de Chezy en términos del Radio Hidráulico = R que no tiene significado físico es un error ya que se pierde el significado físico del Perímetro Mojado = P que es la causa más importante de la fricción.

1.2) El razonamiento de Chezy sobre la fuerza de fricción que genera una corriente de agua en un canal.

El razonamiento de Chezy se enfoca a determinar cuál es el valor de la fuerza de la fuerza de fricción = Ff y propone que esta depende:

1) De la rugosidad del material de excavación o de revestimiento de las paredes del canal. Este supuesto es correcto para materiales muy rugosos y radio hidráulico R de pequeños a medianos.

2) Del área de rozamiento = Ar. Este supuesto es correcto.

3) Del cuadrado de la velocidad = V de la corriente de agua. Este supuesto es la gran incógnita de la formula.

A pesar de que esta ecuación no es totalmente exacta, ofrece resultados razona-blemente exactos y es la base del cálculo de Canales en el 2011.

1.2) La Formula de Manning.

La constante C de la formula de Chezy fue expresada por Manning como: C = R1/6/n y con este cambio la formula (1.4) resulta:

(1.5)

Donde n = numero de Manning y sus unidades; s/m1/3 y depende del tipo de material de excavación o de revestimiento de las paredes. En el Anexo 3, se detalla el cambio propuesto por Manning y algunos valores de n para diferentes materiales.

1.2.1) La Formula de Manning para el FLUJO GRADUALMENTE VARIADO.

El planteamiento original de Chezy fue obtener una formula solo para el Flujo Uniforme, esto es, para; y1 = y2 y V1 = V2 y por lo tanto So solo depende de la pendiente del fondo del canal; So = (z1 – z2)/L12 = sin(θ).

Sin embargo, cuando y1 ≠ y2 y V1 ≠ V2 se presenta un flujo que se define como: FLUJO GRADUALMENTE VARIADO y se genera un nuevo tipo de pendiente S que es la siguiente:

(1.6)

donde S = se define como la pendiente hidráulica y la ecuación (1.5) resulta ser:

(1.7)

Ejercicios y problemas:

E1.2) Un canal trapecial excavado en tierra suelta con n = 0.025 s/m1/3, conduce un gasto de 6 m3/s, con una pendiente de talud m = 1.5, un ancho de fondo b = 2.0 m y una pendiente de fondo So = 1/1000. Si el flujo es uniforme obtenga la profundidad constante o profundidad normal del canal.

Resolución: la profundidad normal o constante de un canal se obtiene de la formula de Manning (1.5), donde al multiplicar por el área de conducción A se obtiene el gasto Q, y considerando que el radio hidráulico se define como; R = A/P.

Expresando en forma canoníca la ecuación anterior

, formula para el cálculo de la profundidad normal (1.8)

Sustituyendo el área de conducción A y el perímetro mojado P para la figura de un trapecio en (1.8) se obtiene:

, (1.9)

donde, Cm = 2(1 + m2)1/2 = 2(1 + 1.52)1/2 = 3.606 y el Factor de Sección = (nQ/So1/2)3/5 = (0.025•6/0.0011/2)3/5 = 2.545, sustituyendo valores;

Obteniendo la solución por el método de Newton o la secante: y = 1.364 m.

Problema 1.6) Un canal rectangular revestido de concreto con n = 0.016 s/m1/3, conduce un gasto de 4 m3/s, un ancho de fondo b = 1.5 m y una pendiente

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