Fracciones Parciales

lunes, 7 de noviembre de 2022

Fracciones Parciales

Actividad 01

Resumen:

Se dice que una función racional   es una fracción propia, si el grado del polinomio P(x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, si el grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia.[pic 1]

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio mas una fracción propia.

Es decir,

= {polinomio} +[pic 2][pic 3]

Caso 1 El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos. Esto significa que podemos escribir

Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)· · ·(akx + bk)

en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1, A2, · · · , Ak tales que:

[pic 4]

Ejemplo:

[pic 5]

Solución Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como:  + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1) Luego la [pic 6]

descomposición en fracciones parciales es:

[pic 7]

Para encontrar los valores de A y B, multiplicamos la igualdad por (x + 4)(x − 1), obteniendo

 7x + 3 = A(x − 1) + B(x + 4)

desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

[pic 8]

Por lo que la fracción original queda:

[pic 9]

Palabras clave:

Función racional, fracción impropia, denominador, factorizar

Summary:

A rational function P(x)/Q(x) is said to be a proper fraction if the degree of the polynomial P(x) is less than the degree of the polynomial Q(x). Otherwise, that is, if the degree of P(x) is greater than or equal to that of Q(x), the fraction is called improper.

Every improper fraction can be expressed, by performing the division, as the sum of a polynomial plus a proper fraction.

Namely,

= {polynomial } +[pic 10][pic 11]

Case 1 The denominator q(x) is a product of different linear factors. This means that we can write

Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)· · ·(akx + bk)

where there is no repeating factor. In this case, there are constants A1, A2, · · · , Ak such that:

[pic 12]

Example:

[pic 13]

Solution We have that the denominator can be decomposed into simple factors as: + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1) Then the[pic 14]

The deficit in partial fractions is:

[pic 15]

To find the values ​​of A and B, we multiply the equality by (x + 4)(x − 1), obtaining

 7x + 3 = A(x − 1) + B(x + 4)

Developing, we get the following system of equations

 [pic 16]

So the original fraction is:

[pic 17]

Keywords:

Rational Function, Improper Fraction, Denominator, Factor

ACTIVIDAD:

Realiza el desarrollo detallado, "paso a paso" y justifica la respuesta dada de la descomposición en fracciones parciales de las siguientes expresiones

1. [pic 18]

Factorizamos el denominador obteniendo

[pic 19]

Calculamos el sistema de ecuaciones

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Sustituimos valores

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