Fracciones parciales
Enviado por Margarita Barraza • 4 de Septiembre de 2020 • Documentos de Investigación • 1.460 Palabras (6 Páginas) • 129 Visitas
Fracciones Parciales
Es un procedimiento utilizado para descomponer una función racional en una función de fracciones más simples y poder aplicar las fórmulas básicas de integración, para lo cual se utiliza el siguiente procedimiento.
Si el polinomio del numerador es de mayor grado que el polinomio del denominador se realiza la división hasta encontrar un polinomio de menor grado que el numerador , donde . Si , entonces[pic 1][pic 2][pic 3]
[pic 5][pic 4]
entonces [pic 6][pic 7][pic 8]
Si , la fracción es propia en este caso se factoriza el denominador y puede ser de los siguientes tipos:[pic 9]
Si los factores obtenidos son lineales para cada factor la descomposición debe obtener la suma de las siguientes fracciones. [pic 10]
+ … diferentes factores lineales [pic 11][pic 12]
++ … iguales factores lineales iguales [pic 13][pic 14]
Si los factores obtenidos son cuadráticos
+ … diferentes[pic 15]
+ … iguales[pic 16]
Ejemplos
- [pic 17]
[pic 18]
Entonces, [pic 24][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]
reemplazamos en [pic 25][pic 26][pic 27]
[pic 28]
Ahora, reemplazamos el valor de en , por lo tanto tenemos, [pic 32][pic 29][pic 30][pic 31]
, sustituyendo los valores de y , nos queda: [pic 33][pic 34][pic 35]
, aplicando reglas de integración tenemos que lo antetior es de la forma .[pic 36][pic 37]
son constantes, por lo cual estarán fuera de la integral y nos quedaría de la siguiente manera los elementos de cada una para aplicar la regla de integración anterior: en el caso de la primera tenemos ; y la segunda , entonces: [pic 38][pic 39][pic 40]
= .[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]
[pic 45]
- [pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
[pic 52][pic 51]
[pic 53]
Reemplazando en , es decir, [pic 57][pic 54][pic 55][pic 56]
[pic 58]
sustituyendo los valores de y , nos queda: [pic 59][pic 60]
, aplicando reglas de integración tenemos que lo antetior es de la forma .[pic 61][pic 62]
Entonces: .[pic 63]
- [pic 64]
[pic 65]
)[pic 66]
[pic 67][pic 68][pic 69]
[pic 70][pic 71][pic 72]
[pic 73][pic 74][pic 75]
[pic 76][pic 77][pic 78]
[pic 79]
[pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
[pic 83]
[pic 84] [pic 85]
[pic 86]
[pic 87]
- [pic 88]
Factorizamos el denominador [pic 89]
, igualamos denominadores[pic 90]
[pic 91][pic 92]
- [pic 93][pic 94][pic 95]
1) 3) reemplazamos los valores de y [pic 98][pic 96][pic 97]
- [pic 101][pic 99][pic 100]
[pic 104][pic 102][pic 103]
2)
[pic 105][pic 106]
[pic 110][pic 111][pic 107][pic 108][pic 109]
[pic 112]
[pic 113]
5)[pic 114]
[pic 117][pic 115][pic 116]
+ 4 [pic 121][pic 118][pic 119][pic 120]
[pic 123][pic 122]
[pic 125][pic 124]
...