Fracciones parciales.
Enviado por vpuerta • 14 de Junio de 2016 • Ensayos • 1.564 Palabras (7 Páginas) • 283 Visitas
Fracciones Parciales
-Denominadores que contienen factores lineales:
Cuando los términos de la suma
[pic 1]
Se combinan por medio de un común denominador, se obtiene la expresión racional individual
[pic 2]
Supóngase ahora que se nos presenta el problema de evaluar la integral . La solución es obvia, por supuesto: se utiliza la igualdad de y para escribir[pic 3][pic 4][pic 5]
[pic 6]
El ejemplo anterior ilustra un procedimiento para integrar ciertas funciones racionales P(x)/Q(x), en donde el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Este método, conocido como fracciones parciales, consiste en descomponer dicha función racional en fracciones componentes más simples, y luego evaluar la integral término a término.
Casos de descomposición en fracciones parciales:
CASO 1. FACTORES LINEALES NO REPETIDOS
Se establece, sin demostración, el siguiente resultado algebraico. Si
[pic 7]
En donde todos los factores son distintos y el grado de P(x) es menor que n, entonces existen constantes reales únicas C1, C2, … , Cn tales que[pic 8]
[pic 9]
EJEMPLO 1:
[pic 10]
SOLUCIÓN.
Suponemos que el integrando se puede expresar como
[pic 11]
Combinando los términos del segundo miembro de la ecuación en un denominador común resulta
[pic 12]
Puesto que los denominadores son idénticos
[pic 13]
Los coeficientes de las potencias de x son iguales
[pic 14]
[pic 15]
Se pueden resolver luego estas ecuaciones simultáneas para A y B. Los resultados son y . Por lo tanto[pic 16][pic 17]
[pic 18]
EJEMPLO 2:
[pic 19]
SOLUCION
Observamos primero que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Por lo tanto, efectuando la división se obtiene:
[pic 20]
Puesto que [pic 21]
[pic 22]
y
[pic 23]
Si se hace Puede verse de inmediato que , respectivamente. Así que,[pic 24][pic 25][pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
CASO 2. FACTORES LINEALES REPETIDOS
[pic 29]
En donde y el grado de es menor que n, entonces se pueden encontrar constantes reales únicas tales que[pic 30][pic 31][pic 32]
[pic 33]
EJEMPLO 1
[pic 34]
SOLUCIÓN.
La descomposición del integrando es
[pic 35]
Igualando los denominadores
[pic 36]
[pic 37]
Se obtiene el sistema de ecuaciones
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
Resolviendo las ecuaciones resulta Por lo tanto,[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
COMBINACION DE LOS CASOS
Cuando el denominador Q(x) contiene tanto factores lineales como repetidos, combinamos ambos casos
EJEMPLO 1
[pic 45]
SOLUCION
Se escribe
[pic 46]
De donde resulta que
[pic 47]
[pic 48]
Si en se hace , encontramos que , respectivamente.[pic 49][pic 50][pic 51]
Igualando ahora los coeficientes de en se obtiene [pic 52][pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
Puesto que se conoce el valor D, de la primera ecuación resulta A= -D/2= -8. De la segunda se obtiene luego B= A/2 = -4. Por lo tanto,
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
-Denominadores que contienen factores cuadráticos irreducibles.
CASO 3. FACTORES CUADRÁTICOS NO REPETIDOS.
Supóngase que el denominador de la función racional P(x)/Q(x) se puede expresar como un producto de factores cuadráticos irreductibles distintos a bx c, ί = 1,2,.Si el grado de p(x) es menor que es posible encontrar constantes reales únicas A₁ A₂,…,An, B₁,B₂,…,Bn, tales que [pic 59][pic 60][pic 61]
[pic 62]
[pic 63][pic 64][pic 65]
EJEMPLO 1
Evaluar
[pic 66]
SOLUCIÓN.
[pic 67]
De lo cual se obtiene
= ([pic 68][pic 69]
=[pic 70]
Como el denominador del integrando no tiene raíces reales, se comparan los coeficientes de las potencias de x:
0=[pic 71]
0=[pic 72]
4=[pic 73]
0=3𝐵+𝐷.
Resolviendo la ecuación resulta Por lo tanto, [pic 74]
[pic 75]
Ahora bien, la integral de cada término presenta todavía un ligero problema. Escribimos primero
[pic 76]
Y luego, después de completar el cuadrado,
[pic 77]
En los segundos miembros de y se reconoce que las integrales de los términos primeros y segundos son las formasy respectivamente, se obtiene finalmente [pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]
...