Fracciones Parciales

CAPITULO 8 FRACCIONES PARCIALES

OBJETIVO PARTICULAR: El alumno descompondrá expresiones racionales en sumas de expresiones más sencillas.

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más sencillas, su utilidad es común en cursos más avanzados de matemáticas.

Cualquier expresión racional se puede escribir como una suma de expresiones racionales F1 + F2 +...+ Fn, si el grado de f(x) es menor que el de g(x)

Hay cuatro casos de descomposición en fracciones parciales:

Caso 1. En el cual cada denominador es lineal.

Caso 2. Con factor lineal repetido.

Caso 3. Con un factor cuadrático irreducible.

Caso 4. Con factor cuadrático repetido.

Procedimiento para la descomposición en fracciones parciales

Paso 1: Si el grado de f(x) es mayor que el de g(x), utilizar la división larga para bajar el grado de la función del numerador.

Paso 2: Factorizar el denominador g(x) para obtener un producto de factores lineales, de la forma (px+q), o factores cuadráticos irreductibles, ( ), y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma , o con m y n enteros positivos.

Paso 3: Si el denominador es lineal de la forma con , m fracciones parciales con factor lineal repetido m veces.

Paso 4: Si el denominador es cuadrático de la forma con , n fracciones parciales con factor cuadrático repetido n veces.

Paso 5. Obtener los valores de A1, A2, etc.

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales

Paso 1. Se verifica que el numerador tenga grado menor que el denominador.

Paso 2. Se factoriza el denominador

Paso 3: Se coloca cada factor obtenido, de la siguiente forma

Se obtiene el mínimo común denominador, se hacen simplificaciones

:

Se eliminan los paréntesis realizando las operaciones con los factores

Se obtienen las ecuaciones identificando términos

Resultan tres ecuaciones de la igualdad

Con la tercera ecuación se obtiene el valor de A

A = −1

Se sustituye los valores de A= −1 en las ecuaciones 1 y 2

Se resuelvo el sistema de dos ecuaciones para obtener los valores de B y C

C = 2

Se sustituye los valores de A= −1 y C = 2 en cualquiera de las ecuaciones 1 o 2 para obtener B

B = 1

Se sustituyen los valores de A B y C en la expresión obtenida en el paso 3.

Un procedimiento alternativo de solución más sencillo, que solamente se puede usar cuando los términos son lineales y no repetidos.

Se obtiene el mínimo común denominador, se hacen simplificaciones

Se igualan a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial

Primero sustituimos el valor de x = 3

15 = 15B

B = 1

luego sustituimos el valor de x = − 2

C = 2

Y por

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