FRACCIONES PARCIALES

INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIONES PARCIALES

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma donde:

• P(x) y Q(x) son polinomios

• El grado de P(x) es menor que el de Q(x)

NOTA

• Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

• En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de él numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:

• El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,

• El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.

I. FACTORES LINEALES DISTINTOS

En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.

Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2)(a3x + b3)...(anx + bn) a y b son constantes, proponer:

(1)

Encontrar A1, A2, An

Ejemplo Caso I

Sea .

Primero factorizamos el denominador nos quedaría

Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir

II. (Factores Lineales Repetidos)

Suponga que el primer factor lineal (a1x + b1) se repite r veces; es decir, (a1x + b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple en (1), se usaría

(2)

Ejemplo caso II

Si tenemos

En el denominador Q(x) = (x + 1)3(x − 1)(x − 2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales (x − 3)3, x − 1 y x − 2

• Para (x − 1) y (x − 2) usamos el caso I entonces escribimos

• Para (x + 1)3 usamos el caso II entonces escribimos

Ahora unimos las fracciones anteriores y obtenemos,

III FACTORES CUADRÁTICOS IRREDUCIBLES

Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2 + bx + c, donde b2 − 4ac < 0 (esto nos dice que no se puede expresar ax2 + bx + c como la multiplicación de dos factores lineales pues la solución de la cuadrática es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión para tendrá un término de la forma

Ejemplo Caso III

Sea podemos notar que x2 + 1 es una cuadrática irreducible ya que su solución es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma y para el factor (x + 1)2 escribimos las fracciones

Sumamos estas fracciones y tenemos la expresión en fracciones parciales para

F(x)

IV FACTOR CUADRÁTICO IRREDUCIBLE REPETIDO

Si Q(x) tiene un factor de la forma (ax2 + bx + c) r, donde b2 − 4ac < 0, luego en lugar de la única fracción parcial , escribimos la suma

Ejemplo Caso IV

Sea usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda

CASO V FRACCIÓN IMPROPIA

Si es una fracción impropia (es decir, el grado de P(x) es mayor o igual que el de

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