Integración por partes y de funciones racionales

[pic 1]

Profesor: Dr. Jorge Rodríguez

Miramontes

Alumno: Carbajal Romero Cristian

Ivan

Materia: Calculo Integral

Carrera Ing en Telemática

Actividad 2. Integración por partes y de funciones racionales.  

Introducción:

Bueno con lo estudiado, tenemos que aplicar loa metodos de integración tenemos que para esto es de suma importancia saber los direrentes tipos y el como actuar con sus ejercicios y como llegar aplicarlos en algun ejercicio presentado es por eso mismo que es de suma importancia saber las reglas, las formulas y conocer los diferentes metodos ya sea ley de exponentes, logaritmos etc.

Desarrollo:

Integral por partes.  

        •         ∫𝑥2cos𝜋𝑥dx

Procedemos a integrar por partes usando la formula.

        ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢, 𝑢 = 𝑥!        𝑦        𝑑𝑣        [pic 2]#        #        𝑑𝑥 

Por lo que simplificamos:

𝑥! [pic 3]

        #        #        #        #        #[pic 4]

$%&[pic 5][pic 6]

𝑥𝑑𝑥-

        #        #        #        #        #        #

 por lo que procedemos a integrar por partes aplicando la formula

# propuesta. [pic 7]

(! $%&(#()[pic 8][pic 9]

        #        #        #        #        #        #        #

[pic 10]

        #        #        #        #        #        #

        #        #[pic 11]

Volvemos a simplificar:

        [pic 12]        𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠        𝑙𝑎𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛        ([pic 13]! $%&(#() −[pic 14]

        #        #        #        #

        #        #        #        #        #

𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 [pic 15]

        #        #        #        #[pic 16]

#[pic 17]        #        𝑐𝑜𝑛𝑏𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠        [pic 18]#        #        #        #        #        J                por lo que simplificamos:

        #        #        ##        #        #        #[pic 19]

        #        #        #        #        #

        #        #        #        #        #        #

Simplificamos y reescribimos:

        𝑥! sin(𝜋𝑥)        2        𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥)        1

        𝜋        − 𝜋        M−        𝜋        + 𝜋! (sin(𝑢) + 𝐶N[pic 20]

=𝑥[pic 21]

        𝜋1        ! sin(𝜋𝑥) − 𝜋2 I− 𝜋1 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥) + 𝜋1! sin(𝑢)J + 𝐶 [pic 22][pic 23]

Por lo que simplificamos:

        (!        !        "        "        (! $%&(#()        !        "

        sin(𝜋𝑥) −        2−        𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥) +        ! sin(𝑢)5 + 𝐶 =        #        − # 2− # 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥) +

        #        #        #        #

        "        (! $%&(#()        !        (        "        (! $%&(#()

        ! sin(𝑢)5 + 𝐶 =        #        − # 2− # 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥) + #! sin(𝑢)5 + 𝐶 ==        #        −[pic 24]

#

!        -./(#()        "        (! $%&(#()        !        -./(#()(        $%&(0) 2−        +        ! sin(𝑢)5 + 𝐶 =        #        − # 2−        #        +        #!        5 + 𝐶         

        #        #        #

Resolvemos y seguimos simplificando:

        [pic 25]!        (0)

        #        #        #        #!        #        #        #

        [pic 26]

        #        #

𝐶        𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠        𝑒𝑙        𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑡        𝑐𝑜𝑚ú𝑛 [pic 27]

#

                [pic 28] + 𝐶 = 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠        [pic 29] + 𝐶                 

        #        #

Reemplazamos y reordenamos:

= (! $%&(#()1!21/%&’$($))3!’+,$(!-)4 + 𝐶 = (! $%&(#()3!/%&’$($))1!’+,$(!$)) + 𝐶 =[pic 30][pic 31]

        #        #

        (! $%&(#()3!(/%&’$($)))1!’+,$(!$)) + 𝐶        𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠                (! $%&(#()3!(/%&’$($)))30!’+,$!($)) + 𝐶 =[pic 32][pic 33]

...