Funciones lineales.

Índice.

¿Qué son las funciones lineales?

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición    f: R —> R  /  f(x) = a.x+b  donde a y b son números reales, es una función lineal.

Las funciones lineales son polinomios de primer grado. los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.

Ejemplos de funciones lineales: 

a(x) = 2x+7                b(x) = -4x+3                f(x) =  2x + 5 + 7x - 3

Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es  proporcional   al incremento de los valores en el codominio, siempre que a  no sea cero.

Una ecuación lineal es una expresión de la forma:

a0 + a1 x1+ a2 x2 +… + an xn = 0

en donde aj es una constante, y xj es una variable, (nótese que en la ecuación consta de n variables). La característica notable de esta ecuación es que todas las variables (xj) están elevadas a la potencia uno.

¿Cómo se representan estas funciones?

1.  Se construye una Tabla de valores: Se dan valores a la variable independiente X luego se encuentra el valor de la variable dependiente Y (desarrollando la ecuación que te dan).
2.  Los puntos encontrados (x,y) se ubican en el Plano Cartesiano.
3.  Se unen los puntos graficados por medio de una recta.
4. GRAFICAR LA FUNCION: y = -2x + 5
   

Solución:
Para x=1 ***y = -2(1)+5 = -2+5 = 3
Para x=2 ***y= - 2(2)+5 = -4+5 = 1 
Para x=3 ***y= - 2(3)+5 = -6+5 = -1
Para x=4 ***y = - 2(4)+5 = -8+5 = -3
Para x= 5 ***y= -2(5)+5 = -10+5 = -5

Los puntos encontrados (x,y) se ubican en el Plano Cartesiano y lo unimos con una línea:

[pic 1]

Las funciones lineales se representan mediante una línea recta en el plano cartesiano, los pares ordenado obtenidos después de resolver la ecuación dándole valores arbitrarios a X se grafican en el plano, la pendiente depende de la ecuación.

Aplicación Económico-Administrativa.

• Determinación de la demanda.
• Determinación de la ecuación de oferta y del tipo de relación entre precio y cantidad.
• Determinación de la ecuación del costo y determinación del valor de costo total dada una cantidad específica de unidades.
• Determinación del punto de equilibrio entre el ingreso y el costo.
• Equilibrio de mercado.
• Determinación del precio de mercado de un producto.
• La pendiente como tasa de cambio.

Ejemplos:

1. Determinación del punto de equilibrio ingresos-costos.

Cuando en una industria se producen x toneladas de producto al día, 0≤x≤16, el costo total de producción y el ingreso total en cientos de pesos están dados respectivamente por las ecuaciones C(x)= 3x+12 y I(x)=5x.

El punto de equilibrio se determina igualando las dos funciones. a) I(x)= C(x)     C (6)= 3(6)+12

5x= 3x+12       C (6)= 18+12

x= 6                  C (6)= 30

El punto de equilibrio es (6; 30), significa que cuando se produce y vende la tonelada número 6, el costo y el ingreso son exactamente iguales ($30,00). En este momento la ganancia es cero.

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