Geometria

Geometría

La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

El campo de la topología, que tuvo un gran desarrollo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo de geometría transformacional, en que las transformaciones que preservan las propriedades de las figuras son los homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geometría métrica, en que las transformaciones que no alteran las propriedades de las figuras son las isometrías). Esto ha sido frecuentemente expreso en la form

Definición. La geometría, del griego geo (tierra) y metrón (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc. ...

La geometría durante los periodos prehistórico y protohistórico

Es razonable pensar que el origen de la geometría surge con los primeros pictogramas que traza el hombre primitivo pues, seguramente, clasificaba aun de manera inconsciente lo que le rodeaba según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la geometría. Así parece confirmarlo la ornamentación esquemática abstracta en vasijas de cerámica y otros utensilios.

[editar] La geometría en el Antiguo Egipto

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Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').

Los denominados Papiro de Ahmes y Papiro de Moscú muestran conjuntos de métodos prácticos para obtener diversas áreas y volúmenes, destinados al aprendizaje de escribas. Es discutible si estos documentos implican profundos conocimientos o representan en cambio todo el conocimiento que los antiguos egipcios tenían sobre la geometría.

Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilización sobre geometría –así como los de las culturas mesopotámicas– pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos y, esencialmente, de Euclides.

La Geometría griega

.] La Geometría griega antes de Euclides

La primera demostración del teorema de Pitágoras probablemente usó un diagrama como el que se muestra.

La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámica, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales –un rectángulo ideal, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo, etc.– que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de regla y compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento aunque, en un primer momento, fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.

Tales permaneció en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los conocimientos de sacerdotes y escribas. Fue el primero en ser capaz de calcular la altura de las Pirámides de Egipto. Para ello midió su propia altura, y en el preciso momento en el que su sombra medía exactamente la misma cantidad, mandó a marcar la sombra del vértice de la Gran Pirámide. De esa forma pudo calcular exactamente cuál era su altura.1 También se le atribuye la predicción de un eclipse solar.2

La figura de Pitágoras y de la secta por él creada: los pitagóricos, tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número (filosofía que de forma más explícita o más implícita, siempre ha estado dentro de la Matemática y de la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina –en este momento inicial de la historia de la Matemática aún no hay una distinción clara entre Geometría y Aritmética–, y asienta definitivamente el concepto de demostración (éste ya sí coincide con el concepto de demostración formal) como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría.

Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición del radio de la Tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la Luna, y la investigación y establecimiento de la teoría de las palancas, por Arquímedes, varios siglos después.

En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de carácter más aritmético que geométrico.

Surge entonces un pequeño problema de Lógica, que consiste en lo siguiente: una demostración parte de una o varias hipótesis para obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.

LA GEOMETRÍA PLANA

Es la rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas Geometría no euclideas en el siglo XIX.

La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la

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