Grupos puntuales de simetría LOS GRUPOS DE SIMETRÍA PUNTUAL

GRUPOS PUNTUALES DE SIMETRÍA:

 SCHOENFLIES[pic 1][pic 2]

Arthur Schoenflies (1853-1928)

GRUPOS PUNTUALES DE SIMETRIA

1. LOS GRUPOS DE SIMETRÍA PUNTUAL

La simetría de una molécula o cualquier forma finita  (forma externa del cristal, forma aislada en el espacio, ) se puede describir en términos del conjunto de operaciones de simetría que posee.

En todos los casos, todos los elementos de simetría pasan por un punto el centro geométrico de la figura o forma. (Simetría puntual).

A este conjunto de operaciones de simetría puntual presentes en un cristal, molécula o forma se denomina GRUPO DE SIMETRÍA PUNTUAL y en consecuencia deben  cumplir  una serie de condiciones que le confieren la estructura de grupo. Aquí, grupo no es únicamente sinónimo de conjunto o familia, sino que entendemos la palabra "grupo" en el sentido que recibe en matemáticas.

1. ELEMENTOS Y OPERACIONES DE SIMETRÍA

La simetría de una molécula se puede describir en términos del conjunto de operaciones de simetría que posee:

.- El número de operaciones puede ser muy pequeño .

.- En una molécula todos los elementos de simetría pasan por un punto en el centro de la estructura.

Por eso la simetría de las moléculas se denomina

simetría de GRUPO PUNTUAL

1. CONCEPTO DE GRUPO

Un conjunto de elementos G = { a, b, c, ...} finito o infinito en el cual hemos definido una operación (que llamaremos  "producto“ ) tiene estructura de grupo si se cumple:

• El producto de dos elementos del conjunto es un elemento de G:

                                      a x b  G                              

 para todo a, b  G, ley de composición interna.

• Para todo a, b, c de G se cumple la propiedad asociativa

                                       (a x b) x c = a x (c x b)

• Existe un elemento E   G, llamado identidad, tal que para todo a de G, es

                                        a x E = E x a = a

• Para cada elemento a de G, existe un elemento de G que notaremos a-l, tal que:

                                       a x a-l = a-l x a = e; a-l

Se llama elemento inverso de a.

• Algunos grupos, además, tienen la propiedad conmutativa, es decir, para todo a, b de G se cumple:

                                        a x b = b x a.  

Se llaman entonces grupos conmutativos

1. PROPIEDADES  DE LOS GRUPOS

Todos los grupos matemáticos, dentro de los cuales se incluyen los grupos puntuales,  tienen las siguientes propiedades:

1.- Cada grupo debe contener la operación identidad que conmuta con todos los otros miembros del grupo y los deja inalterados

[pic 3]

2.-   Cada operación debe tener una inversa, que combinada con la operación, da la E.

[pic 4][pic 5]

3.- El producto de dos operaciones también debe ser miembro del grupo. Esto incluye el producto de una operación consigo misma

                             [pic 6]

4.- Se debe cumplir la propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C

[pic 7]

5.- No tiene por que cumplirse siempre la propiedad conmutativa: 

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