Guía de Aprendizaje de Probabilidad y, de un Estadística

Guía de Aprendizaje de Probabilidad y, de un Estadística.

TEORÍA

Medidas de Tendencia Central o de Localización

1.3 Medidas de Posición

Las medidas de tendencia central son valores que indicar la posición que tienen los datos, es decir una medida de localización se puede ver como un representante de la posición de los datos. En este caso las medidas principales son: La media aritmética (promedio), la mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica.

1.3.1 La media aritmética o promedio (Media Muestral)

Definición.- La media aritmética es el promedio común de los datos, esto, dados los datos , su media aritmética es:[pic 1]

[pic 2]

La notación para la media aritmética es con una raya sobre la variable ().[pic 3]

Si las observaciones se encuentran agrupadas en una tabla de frecuencias de datos individuales como la siguiente:

Donde  es la frecuencia absoluta de la observación , el promedio se calcula como sigue:[pic 10][pic 11]

[pic 12]

Adicionalmente a la tabla anterior, una tabla de distribución de frecuencias tiene el siguiente aspecto:

1.3.2 La mediana

Definición.- La mediana de un conjunto de datos , es el valor que se encuentra en el punto medio, cuando se ordenan los valores de menor a mayor.[pic 35]

Se nota como  o Med y tiene a propiedad de que a cada lado del valor se encuentra el 50% de las observaciones.[pic 36]

Tenemos 3 casos importantes que debemos tomar en cuenta para el cálculo de esta medida, para lo cual se procede de la siguiente manera:

• Si disponemos de un conjunto de datos individuales, el cálculo se procede de la siguiente manera:

1. Se ordenan las n observaciones de manera creciente
2. Si el número de observaciones es impar, entonces n=2m+1. La mediana es la observación que se encuentra en el lugar m+1.
3. Si el número de observaciones es par, entonces n=2m. La mediana es igual a la suma de las observaciones que se encuentra en los lugares m y m+1, divido para dos.

• Si los datos están resumidos en una tabla de distribución de frecuencias de datos individuales:

1. Ordene las observaciones de manera creciente, con sus respectivas frecuencias acumuladas.
2. Calcule  y redondee al entero más cercano. Determine en la columna de la frecuencia acumulada  a qué dato pertenece, comparando el valor obtenido con el valor de la frecuencia acumulada que es igual e inmediatamente superior; éste valor es la mediana.[pic 37]

• Si los datos está resumidos en una tabla de distribución de frecuencias por clases, la mediana se determina por interpolación, de la siguiente forma:

1. Establezca en que intervalo está el valor mediano, para esto se determina la primera clases cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a . Dicho intervalo se denomina clase mediana. [pic 38]
2. La mediana se calcula con la fórmula:

A,[pic 39]

Donde:

  es el límite inferior de la clase mediana [pic 40]

 es la frecuencia acumulada del intervalo inmediatamente anterior al intervalo de la median.[pic 41]

 es la frecuencia absoluta de la clase mediana [pic 42]

 es la longitud de la clase de la mediana[pic 43]

Nótese que la mediana de un conjunto de datos no necesariamente pertenece a éste. La propiedad fundamental de la mediana es dividir al conjunto de observaciones en la mitad. Además existen algunas ventajas e inconvenientes al emplear la mediaba:

1. Es la medida más representativa en el caso de variables que solo admitan la escala ordinal.
2. Es fácil de calcular
3. En la mediana solo influyen los valores centrales y es insensible a la presencia de valores atípicos.
4. En su determinación no intervienen todos los valores de la variable.

1.3.3 La moda

Definición.- La moda de un conjunto de datos es aquel valor que tiene la mayor frecuencia absoluta.

Se le denota con la letra Mo y se dan en ciertos casos, que se pueden tener 2 o más modas, o no puede existir, cuando todos los datos tienen igual frecuencia. Para su determinación es útil construir una tabla de frecuencias de los datos.

Si los datos están resumidos en una tabla de distribución de frecuencias por clases, la moda se determina mediante la siguiente fórmula:
[pic 44]

Donde:

 es el límite inferior de la clase modal[pic 45]

es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior. [pic 46]

es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente. [pic 47]

A es la longitud de clase de la mediana.

Ventajas e inconvenientes del empleo de la moda

1. Es fácil de calcular e interpretar
2. Es la única medida de localización que puede obtenerse en las variables de tipo cualitativo.
3. En su determinación no intervienen todos los valores de la distribución

1.3.4 Los Percentiles

Esta medida estadística corresponde a lo que se denomina medidas de posición no central.

Definición.- Los percentiles son cada uno de los 99 valores que dividen a la distribución de los datos en cien (100) partes iguales.  Se les denota con el símbolo Pk.

Consideremos el siguiente caso para una tabla de datos individuales, el cual es el mismo caso para datos no agrupados.

Ejemplo: Calcular los percentiles de orden 20 (P20) y 33 (P33) de la estatura de diez (10) personas que miden (en cms),

165        165        167        168        170        172        172        173        178        180

Solución: Como el número de estaturas medidas es 10, entonces n = 10. (Note la distribución en orden creciente de las mediciones)

Para P20, k = 20. Después de determinar n y k realizamos la siguiente operación,

[pic 48]

La elección de la formula a usar depende del valor de r. Cuando r es cero (0), como en este caso, promediamos la medición que está en la posición j ( 165, ya que este es el valor en la segunda posición) con la siguiente (167), así,

[pic 49]

Para P33, k = 33. Después de determinar n y k realizamos la siguiente operación,

[pic 50]

Nuevamente la elección de la fórmula a usar depende del valor de r. Cuando r es mayor que cero (0), como lo es en este caso, seleccionamos la medición que está en la posición j +1, (168, ya que este es el valor en la cuarta posición), así,

[pic 51]

Además del caso anterior, las mediciones podrían presentarse agrupadas en clases. Consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Calcular el percentil de orden 86 (P86) de los ingresos anuales de los empleados de una empresa

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