Guía de actividad individual Límites y continuidad

Guía de actividad individual de la unidad 2.

Límites y continuidad

FICHA 1 - Trabajo individual

1. Completar la tabla y utilizar el resultado para estimar el límite. Representar la función utilizando la herramienta de graficación Winplot, para confirmar el resultado:

X 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1

f(x) 0,20408 0,20040 0,20004 0,19996 0,19960 0,19608

lim┬(x→4)⁡〖(x-4)/((x-4)(x+1))〗= lim┬(x→4)⁡〖1/(x+1)= 〗 1/(4+1)= 1/5

2. Elaborar una tabla de valores para la función y utilizar el resultado para estimar el valor del límite. Utilizar la herramienta de graficación Winplot para representar la función y confirmar el resultado:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) no existe 0,50000 0,33333 0,25000 0,20000 0,16667 0,14286

lim┬(x→-3)⁡〖(x+3)/((x+4)(x+3))〗= lim┬(x→3)⁡〖1/(x+4)〗= 1/(-3+4)=1

3. Utilizar la gráfica para encontrar el límite. (si es que existe). Si el límite no existe, explicar por qué.

Este límite no existe porque está determinado por una discontinuidad cunado su valor tiende a cinco.

4. Dibujar la gráfica de f. Después identificar los valores de c para los que existe el límite de la función f(x) cuando tiende a c.

lim┬(x→-2)⁡〖F(x)〗= lim┬(x→2)⁡F(x)

lim┬(x→2)⁡〖8-2x=8-2(2)=4〗

lim┬(x→2^- )⁡〖x^2 〗=(2^2 )=4

lim┬(x→2^+ )⁡〖8-2x=8-2(2)=4〗

En este espacio la función F(x) es continua

lim┬(x→4^- )⁡〖8-2x=8-2(4)=0〗

lim┬(x→4^4 )⁡〖4=4〗

En este espacio la función F(x) es no es continua

5. Encontrar el límite L. Luego utilizar la definición ε-δ de límite para demostrar que el límite es L.

lim┬(x→-3)⁡〖(2(-3)+5)=1〗

〖 lim┬( x→1)〗⁡〖((1)^2+1)=2〗

6. Calcular el límite de:

lim┬(x→2)⁡〖√(2+2)/(2-4)〗= √4/(-2)= 2/(-2)= -1

lim┬(x→300)⁡cos⁡〖300= 1/2〗

7. Hallar el límite de:

= 4 - (1)² = 4 - 1 = 3

= √(3+1)= √4=2

= √((4-x^2 )+1)= √(5-x^2 )= √(5-(1^2 ) )= √(5-1)= √4=2

8. Utilizar la gráfica para determinar el límite (si existe) de manera visual. Escribir una función más simple que coincida con la dada, salvo en un punto.

= lim┬(x→1)⁡〖x(x-1)(x+1)/(x-1)〗= lim┬(x→)⁡〖x^2+x= 1^2+1=2〗

= lim┬(x→-1)⁡〖(x^3-1)/(x-1)〗= (〖-1〗^3-1)/(-1-1)= (-1-1)/(-1-1) = (-2)/(-2)=1

9. Encontrar el límite (si existe)

lim┬(X→4)⁡〖((X-4)(X-1))/((X-4)(X+2))〗= lim┬(X→4)⁡〖(X-1)/(X+2)〗= (4-1)/(4+2)= 3/6= 1/2

lim┬(X→0)⁡〖(√(X+5 )- √5)/X〗* (√(X+5 )+ √5)/(√(X+5 )+ √5)= (√((X+5)^2 )- √((5)^2 ))/X(√(X+5 )+√5) = (X+5- 5)/X(√(X+5 )+√5)

X/X(√(X+5 )+√5) = 1/((√(X+5 )+√5) )= 1/((√(5 )+√5) )= 1/(2√5)

lim┬(X→0)⁡〖((4-X-4)/(4(X+4)))/X〗= lim┬(X→0)⁡〖((-X)/(4(X+4)))/X〗= lim┬(X→0)⁡〖(-1)/(4(X+4))〗= (-1)/(4(4))= (-1)/16

10. Utilizar la herramienta de graficación Winplot para determinar el límite y analizar la continuidad de la función y escriba la respectiva conclusión.

Esta es una función discontinua cuando su tendencia tiene un valor de -3

11. Calcular el límite (si existe). Si no existe, explicar por qué.

(-3)/√(〖-3〗^2-9)=(-3)/0=indeterminado

este limites su tendencia a infinito por que no existe y es una funcion discontinua en ese punto.

lim┬(x→2)⁡〖(-(x-2))/((x+2)(x-2))〗= lim┬(x→2)⁡〖(-1)/(x+2)〗= 1/4

este limites su tendencia es 1/4 por que existe y es una funcion continua en ese punto.

lim┬(x→3)⁡〖(12-2(3))/3〗= 6/3=2 lim┬(x→3^- )⁡〖(3+2)/2〗=5/2 lim┬(x→3^+ )⁡〖(12-2(3))/3〗 6/3=2

es una funcion discontinua en ese punto.

12. Encontrar los valores de x (si existe alguno) en los que f no es continua. ¿Cuáles discontinuidades son evitables o removibles?

Su discontinuidad se encuentra en los puntos 2 y 5

13. Describir el o los intervalos en los que la función es continua:

Es una función continua en el punto 0,0

14. Todos los días se disuelven 28 onzas de cloro en el agua de una piscina. En la gráfica se muestra la cantidad de cloro f(t) en esa agua luego de t días.

Se puede observar que cuando su tendencia es negativa no existe su continuidad pero cuando toma su tendencia positiva el valor sigue su continuidad

15. Determinar si f(x) tiende a ∞ o a -∞ cuando x tiende a 4 por la izquierda y por la derecha.

lim┬(x→4^- )⁡〖1/(4-4)〗 ∞ y lim┬(x→4^+ )⁡〖1/(4-4)〗 ∞

16. Determinar si f(x) tiende a ∞ o a -∞ cuando x tiende a -2 por la izquierda y por la derecha.

Se puede determinar que esta función tiende a infinito positivo

17. Encontrar las asíntotas verticales (si las hay) de la gráfica de la función.

No existen Asíntotas verticales dentro de esta función

18. Calcular el límite de:

2/(sen 0)= 2/0=inderteminado= ∞

19. Calcular el límite de:

2/(2-2)= 2/0= ∞

20. Calcular el límite de:

((〖1/2)〗^2 ) tan⁡〖90°= ∞〗

FICHA 2 - Trabajo colaborativo

Prueba tipo ECAES de Límites y continuidad.

Un método para determinar el área de una región plana delimitada por gráficas de funciones consiste en la suma de las áreas de rectángulos bajo la curva, donde el área de cada rectángulo es el producto de la base por su altura.

Para obtener una aproximación al área debajo de una curva es posible dividirla en rectángulos como se muestra en la figura

1. El área aproximada A de la región acotada por y=5/x,y=0,x=1 y x=5 (Fig. 1) utilizando rectángulos es:

a. 3<A<6

b. 5<A<7

c. A<5

d. 8<A<11

Rta:

5x1=5 → 2(5)1=2(5)

1(5)1=1(5)

1(1)=1

Realizamos esta operación: 5+2(5)+1(5)+1=10, encontramos que el área está en por en el intervalo de 8 y 11. y si calculamos mediante la integral obtenemos el valor exacto 8.05

2. De acuerdo al gráfico de la función y=4-x de la Fig. 2, el valor de lim┬(x→3) (4-x) es:

a. 3 porque es el valor de la abcisa sobre el punto del gráfico

b. 3 porque es el valor de la ordenada sobre el punto del gráfico

c. 4 porque es el valor donde intersecta la función en ambos ejes cartesianos

d. 1 porque al acercarnos por la izquierda y por la derecha en el eje X a 3 los valores se aproximan a un mismo valor, en este caso 1.

Rta: El límite se encuentra siempre sobre el eje y. Es 1 cuando x tiende a 3.

3. Sea la función f(x) dada en la Fig. 3, para hallar gráficamente el lim┬(x→2) f(x)

Es falso afirmar que:

a. lim┬(x→2) f(x)=2, pues es el valor de la abscisa marcada con un punto.

b. (lim)┬(x→2) f(x)=2, pues es el valor de la ordenada al cual se aproxima la función cuando x→2.

c. lim┬(x→1) f(x)=3, pues es el valor de la ordenada al cual se aproxima la función cuando x→1.

d. lim┬(x→4) f(x)=0, pues es el valor de la ordenada al cual se aproxima la función cuando x→4.

Rta: En la función se dan los valores del límite sobre la ordenada y es aproximado. La función se redefine en el punto x = 2, y así el límite es posible, se redefine, y no hay variaciones en los valores de la función.

4. En la Fig. 4 se muestran cuatro gráficos de funciones I, II, III y IV respectivamente.

Gráficamente se puede afirmar que no existe el límite para las funciones correspondiente a:

a. Gráficos I ó III

b. Gráficos III ó IV

c. Gráficos II y III

d. Gráficos I y IV

Rta: En las gráficas 3 y 4 se encuentran funciones a trozos, en ellas se solicita encontrar un límite y se asigna en un intervalo que no existe por lo tanto sus los valores de la función no están conectados,

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