INVESTIGACIÓN UNIDAD IV”ESPACIOS VECTORIALES”

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TAPACHULA[pic 1][pic 2][pic 3]

PERIODO: AGOSTO-DICIEMBRE 2017

DOCENTE: ING. JOSÉ LUIS MÉNDEZ LAMBAREN

MATERIA: ALGEBRA LINEAL

INVESTIGACIÓN UNIDAD IV”ESPACIOS VECTORIALES”

ALUMNO:

WILMAR ROBLERO LOPEZ

CARRERA: INGENIERÍA CIVIL

SEMESTRE: 3                  GRUPO. “E”

FECHA: 05 DE DICIEMBRE DE 2017

Índice

Introducción  --------------------------------------------------------------------------- 2

Tema IV. Espacios vectoriales ------------------------------------------------------ 3-14

4.1 Definición de espacios vectoriales ------------------------------------------- 3-5

4.2 Definición de subespacio y sus propiedades ------------------------------ 5-6

4.3 Combinación lineal -------------------------------------------------------------- 6-8

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial --------------------------------- 9-11

4.5 Espacio vectorial con producto interno ------------------------------------ 11-12

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt- 13-14

Conclusión  --------------------------------------------------------------------------- 15

Bibliografía   --------------------------------------------------------------------------- 16

Introducción

Este trabajo es producto de una investigación sobre el tema “espacios vectoriales“ que pertenece a la unidad 4 de la materia de algebra lineal. Esta investigación se llevó a cabo para analizar, entender y adquirir nuevos conocimientos del tema.

Para comprender de que trata el tema de investigación es necesario conocer los espacios vectoriales, por ello se deja la siguiente definición: Se utilizará la palabra “escalar” para designar una magnitud. Si los escalares utilizados pertenecen a números reales, entonces es un espacio vectorial real; y si los escalares pertenecen a los números complejos, entonces es un espacio vectorial complejo. Al hablar de un vector se refiere a un elemento de un espacio vectorial determinado. Un espacio vectorial es una colección de vectores.

En este trabajo se desarrollara todo lo que implica el tema, es decir todos los subtemas, los cuales son los siguientes:

• Definición de espacios vectoriales.

• Definición de subespacio y sus propiedades.
• Combinación lineal.
• Base y dimensión de un espacio vectorial.
• Espacio vectorial con producto interno.
• Base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt

Del mismo modo se presentaran ejemplos para que ayuden el entendimiento del tema. Con este trabajo se pretende adquirir nuevos conocimientos y sobre todo que una vez leída la investigación podamos realizar ejercicios por propio mérito.

IV.  ESPACIOS VECTORIALES

4.1 Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación: Si “x” y “y” están en V  y si a es un número real, entonces la suma se escribe como: “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3  al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.

Axiomas de un espacio vectorial:

1)      La suma [pic 4] es otro vector en V

2)      [pic 5], es decir, la suma es conmutativa

3)      [pic 6], es decir, la suma es asociativa

4)      Existe un vector cero en V, tal que [pic 7]

5)      Para todo vector [pic 8] existe un vector[pic 9], tal que [pic 10], y se denomina el inverso aditivo

6)      El vector [pic 11] es un vector en V

7)      [pic 12] 

8)      [pic 13]. Los incisos 2 y 3 representan la propiedad distributiva.

9)      [pic 14]

10)      Para todo vector[pic 15],  [pic 16], tal que[pic 17], y se denomina el inverso aditivo

Ejemplos:

Ejemplo 1.; Como la suma y la multiplicación por un escalar de todos los vectores con dos componentes satisfacen las 10 propiedades anteriores, decimos que [pic 18] con estas propiedades es un espacio vectorial.

El lector puede probar lo anterior con cualesquiera vectores[pic 19], [pic 20], [pic 21], y constantes c y d.

Dado que lo mismo se puede decir para vectores con tres, cuatro o n componentes, entonces  [pic 22],[pic 23]y [pic 24], con las propiedades correspondientes, son espacios vectoriales.

Ejemplo 2.: El conjunto de puntos en [pic 25] que están en la recta[pic 26], ¿es un espacio vectorial?

Este conjunto de vectores lo podemos escribir de la forma[pic 27].

Sea  [pic 28] y[pic 29], el lector puede ahora comprobar si se cumplen las 10 propiedades arriba mencionadas, y responder si es o no un espacio vectorial.

Desde luego que sí es un espacio vectorial. 

Ejemplo 3. El conjunto de puntos en [pic 30] que están en la recta[pic 31], ¿es un espacio vectorial?

 Este conjunto de vectores lo podemos escribir de la forma [pic 32]. Sean [pic 33]  y   [pic 34],

En este caso, la suma

[pic 35] 

Es un vector que no está en el conjunto  [pic 36], y por tanto no se cumple la propiedad 1 de la suma.  El conjunto dado no es espacio vectorial.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades

Definición de subespacio vectorial

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

Existen múltiples ejemplos de subespacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

Teorema de subespacio

Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es un subespacio.

1. Si x € H y y € H, entonces x + y € H
2. Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas 1) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas 1) y 4)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas 2), 5), 7), 8), 9) y 10)] se cumplen.

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