Integracion

Introducción

Este proyecto es la culminación de todo lo aprendido del curso de cálculo II, en donde se aprendió a utilizar las integrales para luego poder resolver otros problemas más complicados. En el caso de este proyecto, se utilizaron para poder obtener volúmenes de las funciones que se asignaron con los métodos explicados en clase. El fin del proyecto es poder resolverlo con todas las herramientas proporcionadas durante el curso, además de poder evaluar si el estudiante es capaz de resolverlas.

Los problemas están planteados de tal forma que el alumno deba de interpretarlo y pueda determinar que método debe de utilizar para obtener la respuesta. Además, se debe de representar gráficamente la función y presentar una maqueta de la misma.

Marco Teórico

Integrales: Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce una notación para la anti derivada de una función

Si F(x) = f(x), se representa

∫▒〖f(x)dx=F(x)+c〗

A este grafo ∫ se le llama símbolo de la integral y a la notación ∫f x dx se le llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x) se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama conste de integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

Cuando se resuelve una integral como se ve expresamente en el caso anterior se agrega un c que identifica que existe una constante, pero que se desconoce su valor. A este caso de integral se lo denomina integral indefinida.

Por otro lado, cuando se definen límites claros a la integral se convierte en una integral definida. Esta se representa agregando los límites que se desean valuar y se representa

∫_a^b▒〖f(x)dx=├ F(x)┤|_a^b 〗

Donde a es el límite inferior y b es el límite superior de la función a evaluar.

Con esta estructura se puede llegar a un número concreto y se determina de la siguiente manera

├ F(x)┤|_a^b=F(b)-F(a)

En donde la función se valúa sustituyendo la variable por el limite superior menos la función sustituyendo la variable con el límite inferior.

La integral definida tiene gran aplicación en todas las áreas científicas. Algo muy importante es identificar lo que representa, así como la derivada es la pendiente de una función en un punto determinado, la integral es el área bajo la curva. Además, la integral de una función permite identificar su volumen.

Volumen: es una magnitud escalar definida como la extensión en tres dimensiones de una región del espacio. Es una magnitud derivada de la longitud, ya que se halla multiplicando la longitud, el ancho y la altura.

Para calcular el volumen de una función por medio de derivadas se pueden aplicar distintos métodos dependiendo de lo que solicite.

Problemas:

Problema 1: La base de un sólido es la región entre un arco de y="sen" x y el eje x (es decir, 0≤x≤π). Las secciones transversales perpendiculares al eje x, son semicírculos. Encuentre su volumen.

Grafica de la funcion

Integral

V=1/2 π∫_0^π▒〖sin⁡x〗^2 dx

Simplificación

├ [1/2 π(1/2 x-1/4 sin⁡2x )]┤|_0^π

Valuación de la integral

[1/2 π(1/2(π)-1/4 sin⁡〖2(π)〗 )]-[1/2 π(1/2(0)-1/4 sin⁡〖2(0)〗 )]

π^2/4-0

Resultado

π^2/4

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