Interpretación geométrica de la derivada
zurianisescobarApuntes28 de Agosto de 2019
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4.1 Interpretación geométrica de la derivada.
Geométricamente, la derivada de una función en un punto determinado se interpreta como el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto.[pic 1]
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 3, encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x1, y1). Elabore una tabla de valores de x, y, m en el intervalo [a, b], e incluya en ella todos los puntos donde la gráfica tiene una pendiente horizontal.
Trace la gráfica y muestre un segmento de la tangente en cada uno de los puntos localizados.
En los ejercicios 4 a 6, determine la pendiente de la tangente a la gráfica de la función f en el punto (x1, f (x1)).
Elabore una tabla de valores de x, f (x) y m en diversos puntos de la gráfica e incluya en dicha tabla todos los puntos donde la gráfica tiene un tangente horizontal. Trace la gráfica de la función.
En los ejercicios 7 al 9, obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal de la curva en el punto indicado. Trace una gráfica de la curva junto con la tangente y la normal.
[pic 2]
Solución
[pic 3][pic 4][pic 5]
x | y | m |
−3 | 0 | 6 |
−2 | 5 | 4 |
−1 | 8 | 2 |
0 | 9 | 0 |
1 | 8 | −2 |
2 | 5 | −4 |
3 | 0 | −6 |
[pic 6]
Solución
[pic 7]
x | y | m |
1 | 4 | −4 |
2 | 1 | −2 |
3 | 0 | 0 |
4 | 1 | 2 |
5 | 4 | 4 |
[pic 8]
[pic 9]
Solución
[pic 10]
x | y | m |
−2 | −7 | 12 |
0 | 1 | 0 |
1 | 2 | 3 |
2 | 9 | 12 |
[pic 11]
Trace la gráfica y muestre un segmento de la tangente en cada uno de los puntos localizados.
En los ejercicios 4 a 6, determine la pendiente de la tangente a la gráfica de la función f en el punto (x1, f (x1)).
[pic 12]
Solución
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
x | y | m |
−5 | 3 | −0.167 |
0 | 2 | −0.250 |
3 | 1 | −0.500 |
4 | 0 | No existe |
[pic 16]
Solución
[pic 17]
x | y | m |
0 | 8 | −12 |
1 | −1 | −6 |
2 | −4 | 0 |
3 | −1 | 6 |
4 | 9 | 12 |
[pic 18]
[pic 19]
Solución
[pic 20]
[pic 21]
x | y | m |
0 | −2 | 9 |
1 | 2 | 0 |
2 | 0 | −3 |
3 | −2 | 0 |
4 | 2 | 9 |
[pic 22]
Elabore una tabla de valores de x, f (x) y m en diversos puntos de la gráfica e incluya en dicha tabla todos los puntos donde la gráfica tiene un tangente horizontal. Trace la gráfica de la función.
En los ejercicios 7 al 9, obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal de la curva en el punto indicado. Trace una gráfica de la curva junto con la tangente y la normal.
[pic 23]
Solución
[pic 24]
[pic 25][pic 26]
[pic 27]
Solución
[pic 28][pic 29][pic 30]
9[pic 31]
Solución [pic 32]
4.2 Incremento y razón de cambio.
A continuación, se analiza la razón de cambio promedio y la razón de cambio instantáneo de una variable en función de otra. Se toman estas ideas para allanar el concepto de derivada de una función. Se aborda este concepto, en un inicio, a través de las razones de cambios porque es una forma de interpretación física, las cuales son más familiares, lo que contribuye a una mejor abstracción.
Los estudiantes están, generalmente, acostumbrados a los conceptos de velocidad y aceleración en los cursos de física. Por lo tanto, creemos importante tomar estas ideas para introducir el concepto de derivada.
Concretamente, se analizan estos cambios, pero en intervalos muy pequeños donde la variación de la variable ocurre alrededor de un punto. Es decir, se requiere analizar el cambio de una variable con respecto a una variable , pero en un intervalo de la forma , cuando . [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
¿Cómo se refleja este cambio de la variable en la variable ?[pic 37][pic 38]
A continuación, estos cambios, se hace un estudio analítico en el apoyo de la figura 1
[pic 39]
Figura 1
Durante el cambio de la variable , por ejemplo, de , donde , la variable varia de . O sea, que este cambio en se escribe [pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]
[pic 46]
El cual ocurre para un cambio en . Se establece la siguiente razón.[pic 47]
[pic 48]
A esta razón (2) se le llama razón de cambio promedio.
Observe la figura 1 y note que se trata de la pendiente de la recta secante que pasa por [pic 49][pic 50]
...