Introduccion Al Algebra
f3rn1113 de Mayo de 2014
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INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA
TERMINOS SEMEJANTES:
Conceptos preliminares
Expresión algebraica À conjunto de números y de letras que se relacionan
entre si mediante una o más operaciones.
t mn z
3 5
−125 + 27 Ejemplo:
Componentes de una Expresión Algebraica:
123 { { 123
Literal
Factor
5
Numérico
Coeficient e
Literal
Factor
3
Numérico
Coeficient e
− 125 t + 27 m n z
Componentes de una Expresión Algebraica:
123 { { 123
Literal
Factor
5
Numérico
Coeficient e
Literal
Factor
3
Numérico
Coeficient e
− 125 t + 27 m n z
Otros ejemplos:
+Ñ (+ , ,Ñ #- $+ &- (, -Ñ B C # *
$ &
a b# $ &
Toda expresión algebraica puede estar formada por uno o más términos
algebraicos. Según la cantidad de términos que posea se clasifican en À
1) Monomio: es la expresión algebraica que posee sólo un término.
Ejemplo: $+ à , à #BC # #
2) Binomio: es la expresión algebraica que posee dos términos.
Ejemplo: $+ %,à B #Cà $B C &BC # #
3) Trinomio: es la expresión algebraica que posee tres términos.
Ejemplo !ß #+ !ß (, !ß %- à B $C &Dà + , - # & #
$ ' *4) Multinomio o polinomio: es la expresión algebraica que posee más de tres
términos.
Ejemplo À #B $C %D )A à !ß (+ (ß &, - &ß %. #ß &/
Términos Semejantes
Son dos o más términos que pudiendo tener tienen el mismo factor literal
diferentes los coeficientes numéricos.
Son términos semejantes:
a) 2+ B à &+ B à )B + # $ # $ $ #
b) %+B à +B à !ß #+B "
#
No son términos semejantes:
a) 3B à $B à B # $
bÑ %+ B à &+B à $+ B # # # #
REDUCIR TERMINOS SEMEJANTES
Consiste en sumar o restar los coeficientes numéricos de aquellos términos que
son semejantes.
Ejemplo: Dada la siguiente expresión: 2a + 3b − 5a + 3a − b
2
Se tienen los siguientes términos semejantes:
2 2 2
2a + 3b − 5a + 3a − b = 5a + 3b − 5a − b = 5a + 2b − 5a
Ejemplo: Dada la siguiente expresión: 2a + 3b − 5a + 3a − b
2
Se tienen los siguientes términos semejantes:
2 2 2
2a + 3b − 5a + 3a − b = 5a + 3b − 5a − b = 5a + 2b − 5a
Términos
Semejantes
Términos
Semejantes
Resultado
Final
Otros ejemplos:
"Þ #B &!+, &B #+, &B œ (B &#+, &B # # #
#Þ "!! > - #BCD > - "!BCD œ **> - "#BCD % % %
Para agrupar expresiones algebraicas se usan paréntesis en tres formas:
redondos ( ), cuadrados o de corchete y de lla ‘ ˜™ ves ; la raya de fracción es
un signo de agrupación que equivale a dos paréntesis entre los cuales hay un
signo de división:
B &
& B
Í B & À & B a b a b
Para resolver paréntesis:
1. Si está precedido del signo positivo + tácito o a b escrito elimine el
paréntesis sin alterar los signos de sumas o restas que en él se incluye.
Ejemplo: 5a + ( 3a – 4b – 4 ab) = 5a +3a – 4b – 4 ab = 8a – 4 b – 4 ab
Ejemplo : 5a + ( 3a – 4b – 4 ab) = 5a +3a – 4b – 4 ab = 8a – 4 b – 4 ab
Signo Positivo
Antes del Paréntesis
Los signos al interior del
paréntesis no cambian
Resultado
Final
#Þ precede al paréntesis elimine el paréntesis Si el signo negativo a b
cambiando todos los signos de sumas o restas interiores.
Ejemplo: 7x – ( 3x + 9) + (x – 1) = 7x –3x – 9 + x –1 = 5x – 10
Ejemplo: 7x – ( 3x + 9) + (x – 1) = 7x –3x – 9 + x –1 = 5x – 10
Signo Negativo
Antes del Paréntesis
Los signos al interior del
paréntesis cambian
Resultado
Final
$Þ Cuando un signo de agrupación incluye a otro es conveniente empezar a
reducir desde el interior al exterior.
Ejemplo: $B (B $ &B œ $B (B $ &B œ $B (B $ &B ‘ ‘ a b
œ *B $
%Þ Si el signo de multiplicación precede al parénte a b† sis aplique la
distributividad del sobre + . a b a b †Ejemplo: Dada la siguiente expresión:
Se tienen los siguientes términos semejantes:
2 2 2
2a + 3b − 5a + 3a − b = 5a + 3b − 5a − b = 5a + 2b − 5a
Ejemplo: [ + 2 − 3 5( −10)]=
3
x x x x x
[ ] 2 3 30 )
4 3
= x x + x − x + x
[ ] 2/1 4 3
= x x + 2x − 3x + 30x
2/3 2/3 2/9 2/7
= x + 2x − 3x + 30x
2/3 2/9 2/7
= 3x − 3x + 30x
Se multiplica término
a término
Por propiedad de
las potencias
Se multiplica término
a término
Reducción de
Términos Semejantes
Ejercicios de Reducción de Términos Semejantes
"Ñ B $ #Ö# $ÐB CÑ× =
#Ñ %B Ö$B #Ò C $ BÐ B C BÑÓ %BC× = # # È È È
$Ñ $Ö#BÒ #B $ Ó &Ò %B Ð$ %BÑÓ × = #
%Ñ #+ Ö$, &- %+ #, × *- = a b
&Ñ "#+, &+ , $+ , "!+, *+, = # # # # #
'Ñ %ß &+ (, "ß %, !ß '+ , &ß $, =
(Ñ # "ß (&7 !ß $(& " " 7 " $ & #
# ) "' $
=
)Ñ $!B Ò ÖÐ"! &BÑ %× Ö' Ð$ #BÑ× Ó
*Ñ #"B Ö Ð$B #CÑ Ð )B 'C %Ñ× ÖÐ(B $Ñ Ð $C & BÑ×
"!Ñ Ò Ð+ ,Ñ ÖÐ + ,Ñ Ð+ ,Ñ×Ó ÖÐ + ,Ñ Ð+ ,Ñ×
""Ñ $ # 8 " 8 # " " & ( $ &
% # ) "# ) ' œ œ Š ‹ Š ‹
Solución
"Ñ (B 'C ( #Ñ B #C 'B #BC $Ñ (#B ()B %&
# #
%Ñ '+ , %- &Ñ "$+, )+ , 'Ñ &ß "+ #ß ",
# #
(Ñ 7 )Ñ $(B * *Ñ #%B &C # ( "
"' "#
"!Ñ $+ $, ""Ñ 8 "(& $"
#% )
PRODUCTOS NOTABLES
Son ciertas formas de multiplicaciones de multinomios por multinomios cuyo
resultado se escribe directamente previa inspección de los datos; no es
necesario escribir el proceso de la multiplicación. Los principales productos
notables son:
1. Cuadradro de binomio
Ejemplo:
+ =
2 2
a) (a b)
22 2 2
(a ) + 2 ⋅(a )⋅ b + b)(
2 2 2 2 2
b) 6( x − 5y) = x)6( − x 5)(6(2 y) + 5( y) = 36x − 60xy + 25y
2 2 2
(x + y) = x + 2xy + y
2 2 2
(x − y) = x − 2xy + y
Primer
término al
cuadrado
El doble por el
primer y
segundo
término
Segundo
término al
cuadrado
2 Þ Cubo de Binomio
3 3 2 2 3
(x + y) = x + 3x y + 3xy + y
3 3 2 2 3
(x − y) = x − 3x y + 3xy − y
Ejemplo:
1. &B #BC œ Ð&B Ñ $Ð&B Ñ Ð#BC Ñ $Ð&B ÑÐ#BC Ñ Ð#BC Ñ a b # $ # $ # # $ # $ # $ $ $
œ "#&B "&!B C '!B C )B C ' & $ % ' $ *
#Þ B #C œ B ÐBÑ Ð#CÑ $ÐBÑÐ#CÑ Ð#CÑ 3 a b$ $ # # $
œ B 'B C "#BC )C $ # # $
3. Producto de una suma por su diferencia
2 2
(x + y)(x − y) = x − y
Ejemplo:
1. Ð$B (Ñ $B ( œ Ð$BÑ ( œ *B %* a b a b # # #
#Þ $+ #, $+ #, œ $+ #, œ *+ %, a ba b a b a b # % # % # % % ) # #
%Þ Cuadrado de polinomio
( ...) ... (2 ....) 2 2 2 2
x + y + z + = x + y + z + + xy + xz + yz +
Ejemplo:
1. Ð#B C
...