Investiacion de operaciones

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

Docente:        Manuel Salgado Alba

Ingeniero Químico - Universidad Nacional de Colombia

Especialización en Ingeniería Ambiental - Universidad Industrial de Santander

Master of Business Administration (MBA) - Broward International University

Celular:   315 2 816069                

Correo institucional: manuel_salgado@cun.edu.co

Introducción.

La investigación de operaciones, básicamente, es el conjunto de métodos, algoritmos y herramientas matemáticas útiles en el proceso de toma de decisiones para la resolución de problemas o situaciones que involucran variables de sistemas de ecuaciones condicionados.    

Prerrequisitos

Teniendo en cuenta que para introducirse al tema de Investigación de Operaciones I, es absolutamente necesario dominar el tema de resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss Jordan (matriz escalonada reducida) visto en la materia de algebra lineal, es necesario hacer un repaso. Por ésta razón, se agregaron sus correos al Google Calendar para invitación a la clase de los sábados (G 4014R, distancia, 5 sábados, 7:00 – 10:00 am), en cualquier momento pueden ubicarse en la fecha y hora de la clase (la primera de 5 es el pasado sábado 14 agosto) y descargar el video de cada clase (archivo en rojo). En el video se explica claramente cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss Jordan.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el Método de reducción de Gauss Jordan (encontrar el valor de X,Y,Z, de modo que al reemplazarlos en dichas ecuaciones, den los resultados después del igual)

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Se construye la matriz ampliada del sistema con los coeficientes de las variables y los resultados:

[pic 4]

Se trata de, a través de operaciones básicas, convertir en un uno (1) o pivote, sólo uno de los términos de cada columna y con base en éste pivote convertir en ceros el resto de los términos de dicha columna. En el caso de la matriz escalonada reducida de Gauss Jordan es hacerlo de manera escalonada en cada columna, de modo que quede de la siguiente manera:

[pic 5]

El procedimiento se basa en dos operaciones básicas:

• Convertir un número deseado en 1 (pivote). Para ello se debe dividir toda la ecuación entre el mismo número con el fin de no afectar la igualdad. Por ejemplo, si quiero convertir el 2 de la siguiente ecuación en 1, debo dividir toda la ecuación entre 2, de la siguiente manera:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Que es el procedimiento que se realiza en la fila 1 ( f1 ) del primer bloque de la siguiente tabla (solo con los coeficientes de la ecuación) denotado de la siguiente manera:

    o también   [pic 10][pic 11]

Que se lee: la fila 1 se va a hacer igual a cada uno de los términos de la fila 1 dividido entre 2

• Convertir un número en cero con base en el 1 pivote obtenido en el paso anterior. Se desea convertir el número 4 que está debajo del 1 pivote (en rojo) del segundo bloque la siguiente tabla.

Para ello se determina la fila dónde se va a hace la modificación (en éste caso la fila 2 denotada como f2) y se hace igual a el número que se quiere hacer cero pero con signo cambiado (en éste caso el 4 que queda como – 4), multiplicado por la fila donde se obtuvo el 1 pivote en rojo (en este caso es f1 ) y a ésta operación se le suma la fila en donde está el número que se quiere hacer cero (en éste caso f2). Toda la operación se resume así:

[pic 12]

O si se quiere más ordenada

[pic 13]

Que se lee: La fila 2 se va a hacer igual a – 4 por la fila 1 a cuyo resultado se le suma la fila 2.

A continuación, se sigue el procedimiento completo en cada uno de los bloques de la siguiente tabla de resolución del sistema:

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Solución:

[pic 17]

Prueba: Si efectivamente el sistema tiene solución, entonces al reemplazar los valores de las variables en el sistema original, entonces los resultados de cada ecuación deben ser consistentes.  

Reemplazando en la 1ra ecuación:

[pic 18]

[pic 19]

Reemplazando en la 2da ecuación:

[pic 20]

[pic 21]

Reemplazando en la 3ra ecuación:

[pic 22]

[pic 23]

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el Método de reducción de Gauss Jordan (encontrar el valor de las variables, de modo que al reemplazarlas en dichas ecuaciones, den los resultados después del igual)

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[pic 25]

[pic 26]

Solución:

[pic 27]

Prueba:

Reemplazando en la 1ra ecuación:

[pic 28]

[pic 29]

Reemplazando en la 2da ecuación:

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[pic 31]

Reemplazando en la 3ra ecuación:

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[pic 33]

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el Método de reducción de Gauss Jordan (encontrar el valor de las variables, de modo que al reemplazarlas en dichas ecuaciones, den los resultados después del igual)

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[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Prueba:

Reemplazando en la 1ra ecuación:

[pic 38]

[pic 39]

Reemplazando en la 2da ecuación:

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[pic 41]

Reemplazando en 3ra ecuación:

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[pic 43]

Ejemplo. Se suministran 3 tipos de alimento a un lago (tipo A, tipo B, tipo C), para que coexistan 3 especies de peces (X, Y, Z). Cada pez de la especie X consume en promedio cada semana 1 Kilogramo del Alimento A, 1 Kilogramo del Alimento B, 2 Kilogramo del Alimento C. Cada pez de la especie Y consume en promedio cada semana 3 Kilogramo del Alimento A, 4 Kilogramo del Alimento B, 5 Kilogramo del Alimento C. Cada pez de la especie Z consume en promedio cada semana 2 Kilogramo del Alimento A, 1 Kilogramo del Alimento B, 5 Kilogramo del Alimento C. 

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