Propiedades De Integrales

PROPIEDADES DE LA INTEGRALES

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

• Se representa por ∫ f(x) dx.

• Se lee: integral de x diferencial de x.

• ∫ es el signo de integración.

• f(x) es el integrando o función a integrar.

• dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

• C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Integral Cero:

Integral de una potencia:

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1) donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(Se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces = 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces

INTEGRACIÓN DIRECTA

Muchas veces se puede aplicar la relación dada en el teorema fundamental del cálculo. Esto es cuando se conoce una función cuya derivada es f(x), entonces la función es el resultado de la antiderivada. Este método requiere del uso de las propiedades de las operaciones dado el caso de la integral, como las propiedades de la potenciación, radicación y demás operaciones primarias y secundarias. Este método de resolución requiere una tabla de funciones y sus antiderivadas, estas se presentan a continuación:

Un ejemplo de esto es:

Calcular la integral indefinida .

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es . Por tanto:

Integración por sustitución

Método de sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inicial:

Ejemplo

Cambios de variables usuales

1.

2.

3.

4.

5. En las funciones racionales de radicales con distintos

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