MATRIZ ESCALONADA, TRANSPUESTA E INVERSA

AMALFI GALINDO

TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

PROGRAMA INGENIERIA INDUSTRIAL

VALLEDUPAR

Matriz escalonada.

En álgebra lineal una matriz se dice que es escalonada, escalonada por filas o que está en forma escalonada si:

Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.

El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).1 si además se cumplen las siguientes condiciones:

Sus pivotes son todos iguales a 1 en cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna se dice que es escalonada reducida por filas.

Escalonada reducida Escalonada No escalonada

No es escalonada, ya que el pivote de la tercera fila no está a la derecha del pivote de la segunda fila.

Matriz traspuesta.

Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz traspuesta, denotada con At está dada por

En donde el elemento aji de la matriz original A se convertirá en el elemento aij de la matriz transpuesta At.

Ejemplos

Propiedades

Para toda matriz A

Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo y sea :

Si el producto de las matrices A y B está definido,

Si A es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

es semidefinida positiva.

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su transpuesta, esto es si

Es antisimétrica si coincide con su negativa.

Si los elementos de la matriz A son números complejos y su transpuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

y antihermítica si

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (la matrices simétricas son un caso particular) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Matriz inversa

En matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que

AA−1 = A−1A = In,

donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Propiedades de la matriz inversa

La inversa de una matriz, si existe, es única.

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

Y, evidentemente:

Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

donde es el determinante de A y es la transpuesta de la matriz de adjuntos de A.

Demostración de la unicidad de la inversa

Supongamos que B y C son inversas de A

AB = BA = I

AC = CA = I

Multiplicando por C

(BA)C = IC = C

(BA)C = B(AC) = BI = B

De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

...