Laboratorio Probabilidad

1. La introducción debes referirla a las señales que procesas y los hallazgos que esperas encontrar o que encontraste. Este ejercicio lo hacemos para aprender sobre las técnicas, pero parte de él es concentrarnos en las señales y su significado. [Pág.2]

1. En los objetivos, este debería ser averiguar algo. Si para ello te sirve el promedio móvil, está bien, pero no debería ser el uso del promedio móvil un objetivo. Y si hay un solo objetivo, la sección no debería estar en plural. [Pág.2]

1. La figura 1 debería tener títulos diferentes a Señal xi. [Pág.3, Fig.1]

1. El sistema que usas (promedio móvil) es en realidad un filtro paso bajo. La energía de su respuesta impulsiva debería ser unitaria. Sería mejor h[n] = (1/3)d[n] + (1/3)d[n-1] + (1/3)d[n-2]. [Pág.9-10, Fig.10] Se modificó la respuesta impulsiva de modo que no sea únicamente el delta en 0 que haga la convolucíon.

1. Si quieres hacer un pronóstico deberías usar otra respuesta impulsiva, una que dé más relevancia a los valores actuales. Por ejemplo, h([n] = .5delta[n] + .3delta[n-1] + .2delta[n-2].

1. Te propongo que modifiques tus cómputos para tomar en cuenta la observacion (4). Luego que los hagas de nuevo para pero usando h[n] en (5). Y luego compares la efectividad de los predictores.

1. Por favor haz un análisis (relativo a la vida real) sobre los resultados que consigues. Por ejemplo, la aplicación de la predicción para obtener data en años recientes, ¿qué te dice sobre la vida de las personas en esos países? [Pág.13]

SEÑALES Y SISTEMAS

-Laboratorio N°1-

 Aplicación de la energía de una señal y la operación de la convolución.

Juan Esteban Correa - juanesco81@javerianacali.edu.co

Abstract- In this paper we are going to show a way how convolution operation can be applicated. First, we present three signals about carbon dioxide emissions (CO2) per metric tons in Colombia, Honduras and Sweden, next we show some statistical methods, like the method of the two means used to calculate a trend line, and moving average used to calculate prognostic in time series with their respective relative errors and way how moving average will be implemented with our signals. In other hand, we show energy concept in a signal and operation convolution with its characteristics and properties. Finally, we calculated prognostics, errors, relative errors, EMC, with convolution and energy concept using Octave.

Palabras clave – Tiempo discreto, Promedio móvil, Error relativo, Convolución.

1. INTRODUCCIÓN

La convolución es una operación ampliamente utilizada en diferentes campos del procesamiento de señales, no obstante, esta operación por sus características puede ser tomada para realizar análisis en otros campos como por ejemplo el campo de la estadística. Dado un conjunto de datos con variable independiente, el tiempo discreto y variable dependiente mediciones confiables hechas de alguna variable física, puede usarse el promedio móvil para encontrar de forma teórica, datos que se puedan comparar con las anteriores mediciones y así encontrar un error del mismo promedio móvil y estos cálculos poder realizarlos con la convolución y sus propiedades, con el fin de examinar las emisiones de CO2 que se proyectan para los próximos años.

1. OBJETIVO

Manipular ciertas señales donde la variable independiente es el año y la dependiente son las emisiones de CO2 por tonelada métrica en un país, haciendo uso de conceptos de Señales y Sistemas y el promedio móvil de señales discretas, para así obtener un pronóstico de emisiones en los años posteriores, además de calcular un error relativo de estos pronósticos y todo esto utilizando herramientas digitales como Octave o MATLAB.

1. DESCRIPCIÓN INICIAL

En primer lugar, se obtienen unas señales en tiempo discreto, más específicamente tres matrices de datos oficiales con las emisiones de dióxido de carbono (CO2), en Colombia, Honduras y Suecia, entre los años 1968 y 2014, es decir, 47 datos de emisiones medidas en toneladas métricas, estos datos pueden verse graficados en la siguiente figura, donde el eje ‘y’ son toneladas métricas.

[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Figura 1. Emisiones de CO2 en Colombia (señal x1), Honduras (señal x2) y Suecia (señal x3) entre los años 1968 y 2014.

Como puede notarse en la Figura 1, las emisiones de CO2 en Colombia se ubican entre 1 y 2 toneladas métricas con una tendencia al incremento y con una pendiente baja comparado con las emisiones de CO2 de Honduras que a pesar de estar entre 0.4 y 1.2 toneladas su pendiente parece ser mayor, por otro lado, las emisiones de CO2 en Suecia inicia en 12 toneladas métricas con una tendencia a la baja hasta ubicarse en 4 toneladas métricas aproximadamente. Así que, para corroborar este análisis, se procede a graficar en la herramienta Excel para luego obtener su línea de tendencia lineal y así obtener sus pendientes. Esto se realiza en las siguientes figuras:

[pic 5]

Figura 2. Tendencia lineal de las emisiones de CO2 en Colombia

[pic 6]

Figura 3. Tendencia lineal de las emisiones de CO2 en Honduras.

[pic 7]

Figura 4. Tendencia lineal de las emisiones de CO2 en Suecia

Así pues, gracias a las Figuras 2, 3 y 4, se pueden comparar las pendientes de las tendencias de estas emisiones en Colombia, Honduras y Suecia, siendo magnitudes de 0.0037, 0.0147 y 0.138 respectivamente, con la particularidad que esta última magnitud es negativa, por lo tanto, es una tendencia a disminuir las emisiones de CO2 cada vez en ese país.

Se presume que puede usarse un método estadístico para poder encontrar predicciones acerca del comportamiento de las emisiones de CO2 para años posteriores al 2014, además de que puede encontrarse un error relativo simulando el método estadístico y comparándolo con los datos actualmente obtenidos.

1. MÉTODOS ESTADÍSTICOS

En primer lugar, se menciona una estimación para el cálculo de las líneas de tendencia graficadas en las Figuras 2, 3 y 4, el cual se realiza con un método llamado el Método de las dos Medias, el cual divide las muestras en dos subgrupos para luego calcularle sus medias aritméticas y finalmente trazar una recta entre esos dos puntos. En términos matemáticos, se realizan los siguientes procedimientos:

A modo de ejemplificación, se menciona que los datos al ser desde 1968 hasta 2014, contienen 47 muestras, es decir que es menester dividir los grupos en uno de 23 datos y el segundo de 24 datos, por lo tanto, para encontrar la media del primer grupo se suman las 23 emisiones del primer grupo y posteriormente se dividen en 23, de la misma forma se realiza la sumatoria para el segundo grupo dividiéndose este por 24, estos dos datos, harían las veces de y1 e y2 para la ecuación del punto pendiente que se muestra a continuación:

[pic 8]

Ecuación 1. Fórmula de punto-pendiente para una función lineal.

Donde x1 y x2 para las señales de la Figura 1 serían los años de la mitad de cada grupo, es decir x1 = 1979 y x2 = 2003. Por lo tanto, se presume que con el cálculo de estos datos se encontraría tendencias lineales cercanas a las de las Figuras 2, 3 y 4.

Por otro lado, el método de los promedios móviles, que utiliza el promedio de los N valores de datos más recientes en la serie de tiempo como el pronóstico para el siguiente periodo. En términos matemáticos,

[pic 9]

Ecuación 2. Promedio móvil. [1]

Este valor de promedio móvil se ubicará delante de los valores tomados, es decir, si se tiene un N = 3, entonces el valor del promedio móvil será el dato inmediatamente después a este tercero o, dicho de otra forma,

[pic 10]

Ecuación 3. Ejemplificación del promedio móvil para un N = 3.

Por lo tanto, si se desea conocer el pronóstico para el año 2015 de cada país se reemplaza la i por el año 2015, por lo tanto, se necesitarían los tres valores previos, es decir, 2014, 2013 y 2012. Así pues, en la siguiente Tabla se encuentran consignadas las emisiones de CO2 para los años 2012, 2013 y 2014:

Por consiguiente, reemplazando los datos de la Tabla I en la Ecuación 2, se obtiene que,

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Luego si se quiere obtener el promedio móvil para 2016, entonces se utiliza el valor para 2015 anteriormente hallado. No obstante, es sabido que estos métodos tienen un error que debe ser calculado, por lo tanto, se utilizan todos los valores que se tienen de las mediciones para compararlos con los promedios móviles hallados y así finalmente obtener un error relativo estimado con la siguiente ecuación,

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