Ley De Gaus

LEY DE GAUSS

La ley de Gauss es una consecuencia de la ley de Coulomb; proporciona un método para determinar el campo eléctrico de una distribución de carga con un alto grado de simetría. En este capítulo se estudian preliminaremente el concepto de flujo eléctrico, luego se formula el teorema de Gauss y finalmente, se desarrollan algunos problemas de aplicación.

2.1. Flujo eléctrico ( ).

Es una medida del número de líneas de fuerza del campo eléctrico que atraviesan una superficie. En la figura 2.1 (a) las líneas del campo eléctrico forman un ángulo  con la normal a la superficie. En la figura 2.1 (b) el campo eléctrico E se descompone en una componente paralela a la superficie y otra perpendicular a la misma. Por consiguiente, se define el flujo eléctrico por

Figura 2.1

Teniendo en cuenta la figura 2.1 (b) la expresión para el flujo eléctrico se escribe

(Unidad S.I.: Nm2/C) (2.1)

donde:

E: magnitud del campo eléctrico

A: área de la superficie

: ángulo entre la dirección del campo eléctrico y la normal

(*) OBSERVACIONES:

1º) La definicón de flujo eléctrico 2.1 se puede expresar por el producto escalar:

(2.2)

donde el vector área tiene la dirección de la normal a la superficie.

2º) Si y la normal tienen el mismo sentido (ver figura 2.2): , entonces

(2.3)

Figura 2.2

3º) Si y la normal tienen sentidos opuestos (ver figura 2.3): , entonces

(2.3)

Figura 2.3

3) Si y la normal son perpendiculares (ver figura 2.4): , entonces

(2.4)

Figura 2.4

2.2. Definición general del flujo eléctrico.

Para definir de manera general el flujo eléctrico, imaginemos una superficie dividida en cuadrados elementales de áreas iguales lo suficientemente pequeñas de modo que puedan considerarse como planas (ver figura 2.5). Por consiguiente, de la definición de flujo eléctrico a través del área infinitesimal se cumple:

(2.5)

donde  es el ángulo entre la normal y la dirección del campo eléctrico. Nótese (figura 2.5) que el vector diferencial de área tiene la dirección de la normal.

Figura 2.5

El flujo total a través de toda la superficie se obtiene integrando la Ec.(2.5) sobre todos los elementos de área:

 (2.6)

(*) OBSERVACIONES:

1º) Si el campo eléctrico es uniforme ( ) el flujo se expresa por:

(2.7)

2º) Si el campo eléctrico tiene la dirección de la normal en cada punto de la superficie ( ) el flujo se expresa por:

(2.8)

3º) Si la magnitud del campo eléctrico es constante en cada punto del diferencial de área (dA), la expresión 2.8 se reduce a:

(2.9)

4º) Si la superficie es cerrada se escribe:

(2.10)

donde denota la integración sobre una superficie cerrada.

4º) Si el campo eléctrico es uniforme y el área de la superficie es plana, el flujo eléctrico se expresa por el producto escalar:

(2.11)

donde es el vector área el cual tiene siempre la dirección de la normal.

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