Ley De Gaus

Ley De Gauss y los conductores

En esta sección se describe una relación general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada y la carga encerrada por la superficie.

Se considera en primer lugar el campo creado por una carga puntual positiva q, como en la figura 5.5 (a), donde la carga está rodeada por una superficie cerrada de forma arbitraria. En cada punto de la superficie, el campo esta dirigido radialmente hacia afuera, a partir de la carga q, y su magnitud es .

En los puntos de un área dA suficientemente pequeña de la superficie puede admitirse que el campo tiene magnitud y dirección constantes. En la figura 5.5(a) que es la componente normal a la superficie, y es igual a . El producto de En por el área dA es

En la figura (b) se muestra que es una ampliación de la figura (a), se observa que el producto es la proyección del área dA sobre un plano perpendicular a r, y que el cociente es igual al ángulo sólido subtendido desde la carga q por el área dA.

Por lo tanto,

En la figura ( c) se hace pasar por el punto p una esfera de radio r de tal manera que, el ángulo sólido total subtendido debe ser el mismo que el de la figura (a). Por lo tanto si se integra a ambos lados la ecuación 5.5 por una integral cerrada, el termino de la derecha .

Entonces,

La ecuación establece que la integral de superficie es proporcional a la carga neta encerrada q, independientemente de la forma o tamaño de la superficie y de la posición de la carga q en el interior de aquella.

Si se tienen varias cargas q1, q2, q3, …… dentro de la superficie arbitraria, el flujo eléctrico será la suma de los flujos producidos por cada carga. Haciendo la ley de Gauss se puede formular como:

La carga en las superficies interiores

Esta distribución de cargas crea su propio campo eléctrico interno, el cual se opone al campo eléctrico externo. El sistema logra el equilibrio electrostático cuando Ein= Eex, lo cual da lugar a que el campo eléctrico neto dentro del conductor sea cero.

Toda carga es generadora de un campo eléctrico, como el campo eléctrico dentro de un conductor es cero entonces la carga neta dentro del conductor debe ser cero. Para ver esto se aplica la ley de Gauss a una superficie cerrada dentro de un conductor como en la figura 5.11.

Como , el flujo a través de cualquier superficie de ese tipo es cero, y en consecuencia esa superficie no encierra carga eléctrica neta, por lo tanto la carga en exceso debe estar en la superficie exterior.

Figura 5.11

Puede también utilizarse la ley de Gauss para determinar el campo justamente sobre la superficie de un conductor. Este campo debe ser perpendicular a la superficie del conductor. Si el campo tuviera en la superficie del conductor una componente tangencial, los portadores de carga se moverían a lo largo de la superficie, en respuesta a la fuerza tangencial correspondiente y, por lo tanto, no se estaría en la condición electrostática. Por lo tanto, en la superficie de un conductor en equilibrio el campo eléctrico solo tiene la componente normal.

Como es perpendicular a la superficie del conductor, se puede tomar como superficie gaussiana un pequeño cilindro con caras paralelas a la superficie del conductor, como se muestra en la figura 5.12. El cilindro es lo suficientemente pequeño para despreciar las variaciones de y la curvatura de la superficie del conductor en la región que ocupa.

Figura 5.12

No hay flujo a través de la parte cilíndrica de la superficie gaussiana debido a que es tangente a esta parte y por lo tanto perpendicular al vector superficie. El flujo a través del extremo plano es cero porque dentro del conductor. Por último, el flujo a través del extremo plano (de área A) que se encuentra justo por fuera del conductor es

De donde

..............................5.8

En los puntos en que sea positiva el campo irá hacia afuera de la superficie (E es positivo), y en los puntos en que sea negativa se dirigirá hacia la superficie (E es negativo).

Otro tipo de problemas que corresponden a la ley de Gauss es lo concerniente con la distribución de carga sobre la superficie o superficies de un conductor. Para ello se usa el hecho de que en el interior del conductor.

Para determinar la carga eléctrica en la superficie interior de la corteza conductora aplicamos la ley de Gauss utilizando una superficie gaussiana cerrada tal que todos sus puntos estén dentro de la región conductora τC. Por ejemplo, podemos

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