Leyes De Maxwell

ECUACIONES DE MAXWELL

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos eléctricos, los campos magnéticos y las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes están la ley de Ampere, la ley de Faraday o la ley de Lenz. Maxwell lograría unificar todas estas leyes en una descripción coherente del campo electromagnético.

Exceptuando la modificación a la ley de Ampere, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue re-obtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday.

Ley de Gauss para el campo magnético (Primera ley de Maxwell)

Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magnético. Al encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magnético por lo tanto, el campo magnético no diverge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero Matemáticamente esto se expresa así:

Donde es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética. Es claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula.

Su forma integral equivalente. Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.

Ley de Gauss para el campo eléctrico (Segunda ley de Maxwell)

La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico ( ) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico ( ) que pasa por una superficie S. Matemáticamente se expresa como:

La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío ( ), así:

La forma diferencial de la ley de Gauss, en forma local, afirma que la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga eléctrica, es decir

donde es la densidad de carga en el medio interior a la superficie cerrada. Intuitivamente significa que el campo E diverge o sale desde una carga , lo que se representa gráficamente como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convención si el valor de la expresión es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga.

Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico ( ) y nuestra expresión obtiene la forma:

Ley de Faraday-Henry (Tercera ley de Maxwell)

La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz ( ), si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:

Como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:

Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa como:

Con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday:5

Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado.

El signo negativo explica que el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce, compensando así la variación de flujo magnético (Ley de Lenz).

La forma diferencial local de esta ecuación es:

Es decir, el rotacional del campo eléctrico es la derivada de la inducción magnética con respecto al tiempo.

Se interpreta como sigue: si existe una variación de campo magnético B entonces este provoca un campo eléctrico E o bien la existencia de un campo magnético no estacionario en el espacio libre provoca circulaciones del vector E a lo largo de líneas cerradas. En presencia de cargas libres, como los electrones, el campo E puede desplazar las cargas y producir una corriente eléctrica. Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, y tiene otras aplicaciones prácticas cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos y explica su funcionamiento. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada.

Ley de Ampere

Ampere formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampere nos dice que la circulación en un campo magnético ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así:

Donde es la permeabilidad magnética en el vacío.

Pero cuando esta relación

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