Logica Matematica

MATEMATICA BASICA 1

Ing. G. RAMIRO PRO AÑO VITERI, Msc.

PROFESOR, ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA

1.1 Proposiciones

Proposición

Es una expresión verbal o escrita en la cual se afirma o se niega algo.

Ejemplo 1 Son enunciados: El Metal es transparente

3 -1 =2

1+1=4

El es más alto que yo

1>2 y1=2

No son enunciados: ¿Cómo te llamas?; ¡Ven!

Valor de Verdad:

Una proposición es verdadera o es falsa, y decimos que su valor de verdad o de certeza es verdadero (V) o falso (F) respectivamente.

Si no se puede determinar si una proposición es verdadera o falsa, la analizaremos considerando sus posibles valores de verdad.

Ejemplo 2 Consideremos la proposición: 1+1=2.

No podemos determinar su valor de verdad pues, nos falta una información adicional; diremos únicamente que puede ser verdadera o falsa.

En este tema consideraremos a los "números" 0,1,2,3, 4,..,..n, como enteros y usaremos las propiedades que intuitivamente hemos aceptado para estos "números". Bajo esta consideración la proposición "1+1=2" es verdadera.

Ejemplo 3 1 = 2 falsa

1+3 > 2 verdadera

2-5 = 3 falsa

El valor de certeza de la proposición compuesta depende de la propiedad de los operadores que la conforman. Por ello determinaremos los operadores y sus propiedades

Proposiciones abiertas

Las proposiciones abiertas o funciones proposicionales son aquellas cuyo valor de verdad depende del dato necesario o valor por el que se reemplace a la variable

Ejemplo 4 Analicemos la proposición 2 + x = 4

Si x = 2 2+2=4 es una proposición verdadera

Si x = 1 2+1=4 es una proposición falsa

En conclusión: 2 + x =4 es una proposición abierta o una función proposicional

Términos Lógicos:

Los términos lógicos son "y", "no", "o",”o”, "Si..., entonces","... si y sólo si..."

Proposición Simple:

Una proposición es simple si y sólo si no tiene términos lógicos. Se la puede representar generalmente por p, q, r, s, o t.

Ejemplo 5 A la proposición "1+2=3", la podemos simbolizar por p,

así: p: 1+2 = 3

1.2. Proposiciones compuestas, operadores lógicos

Proposición Compuesta:

Una proposición es compuesta siempre y cuando (si y sólo si) está formada por una o más proposiciones simples afectadas por términos lógicos.

Ejemplo 1 1=2 o 1>2

Si 2 – 2 = 0, 2 = 2

Negación:

La negación de una proposición p, se representa por " " y se lee: "No es verdad que p", "Es falso que p", o "no p".

p es verdad si y sólo si p es falsa.

La negación no enlaza proposiciones simples por lo que es absurdo proponer

Ejemplo 2 2 + 1 4, se puede representar así: : 2+1 4

p: 2 +1 = 4 es una proposición falsa , por lo que

: 2 + 1 4 es verdadera

Conjunción:

La conjunción de dos proposiciones, p y q, se representa por "p q";

y se lee p y q.

p q es verdadera si y sólo si p es verdad y q es verdad.

Ejemplo 3 Sea la proposición:" 2 +1=3 y 4 < 8". Si p: 2+1 = 3 y

q: 4 <8. La proposición dada se representa por: p y q el término lógico es "y”;, si se representa por p q el operador lógico es " "; p q es una proposición verdadera.

Disyunción:

La disyunción de dos proposiciones p, q se representa por "p o q", "o p o q".

Analizando la proposición "o estoy en Quito o estoy en Guayaquil", se observa que solamente una de las proposiciones puede cumplirse, pues una persona no puede estar en dos lugares a la vez. En la proposición "o leo o escucho" existe la posibilidad de que se cumplan las dos proposiciones a la vez, o solamente una de ellas.

Este análisis implica que en el lenguaje cotidiano se puede interpretar de dos formas este término (operador) lógico.

Disyunción Inclusiva:

La disyunción inclusiva o simplemente disyunción se representa por o, "v". y es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la conforman son falsas.

p v q es falsa si y sólo si p es falsa y q es falsa.

Ejemplo 4 4>2o1+1=3 V (Verdadera)

4>6o2+2=5 F (Falsa)

Disyunción Exclusiva:

Se representa por o, o por " v ". "p o q" o " p v q " se lee:

"p o q pero no ambas"

p v q es verdad si y sólo si (p es verdad y q es falsa) o

( p es falsa y q es verdad).

Ejemplo 5

3+3 > 4 v 7< 3

V F

V

3+2 = 6 o 5-2 = 2

F F

F

5 + 1=3 v 1-3< 1

F V

V

2>1 o -3<3

V V

F

EJERCICIOS

1. Determine el valor de verdad de:

a) 4-2 6 o-3<-2,y2 2

b) 3+2 5 o 5-4 = 1, y 3 + 2 5

c) Sea p: 2 > 6 q: 2+2 3, r: 1+ 5 = 2.

2. Simbolice y encuentre el valor de verdad de:

d) 4+5=9 o 3+2=5, pero no ambas

e) 4+5=9 o 4+2=6, y 4+5=9 y 3+2=6

f) 4+3 7o4+2 = 6, y4+2 6 o 4+3 = 7

g) No es verdad que 3+2 = 5 o 4+2 = 6

h) No es verdad que: "3+2 =5 o 4+2 = 6"

3. SI p: "3 >2" y q: "1 - 2 - 1", r: "4+2 = 6". escriba en palabras las siguientes proposiciones:

a) p q (q y p) c) p ( qvr)

d) ( r v p) v q e) (p q)v (q v r)

4. Determine el valor de verdad de los siguientes enunciados

i) 1<-1 o 1 1

j) (1 +1 = 5 o3+4 7) y 2+3 4

k) 1+2 6 o(4+2 6 y2>2)

d) x+1 1

1.3. Proposiciones condicional y bicondicional

Condicional:

La proposición condicional entre p y q se representa por p q y se lee de cualquiera de las siguientes maneras:

Si p, entonces q

Si p, q

p, sólo si q

q es necesario para p

p es suficiente para q

p q es falsa siempre y cuando p es verdad y q es falsa.

Ejemplo 1 Si 3>2 , 2 > 1 V

Si 1 < 1, 2 = -2 F

Si -1 >2, -2>2 V

Bicondicional:

La proposición bicondicional entre p y q se representa por "p q" o por "p ssi q" y se lee: "p si y sólo si q".

p q es verdad si y sólo si p es verdad y q es verdad, o cuando p es falsa y q es falsa.

Ejemplo 2 3+1=4 ssi 3=5-2 V

4 > 3 ssi 5 = 2+5 F

Ejemplo 5 Propiedad: - ssi ad = bc

Orden de los Operadores:

Las reglas que mencionaremos nos sirven para conocer cual es la conectiva predominante, y saber de esta manera de que tipo de proposición se trata.

a) Si la proposición compuesta está escrita con paréntesis la ubicación de éstos nos indicará cual es la conectiva predominante.

La conectiva predominante de ( p q) v (p v q ) es la disyunción.

La conectiva predominante de ( pvq) p es la conjunción.

b) Si la proposición compuesta está expresada con signos de puntuación, éstos pueden ser reemplazados por símbolos de agrupación (paréntesis), y las proposiciones quedarán expresadas como en el literal a).

2<6 y1+2 = 2, y 4<2 se representa por (p q) r

Si 2+3 = 4 entonces 2>1, o 1- 5 2 se representa por (p q) v r

2<4 o 2 -2 =0, y 4+2=6 o 2-2 0 se representa por (pvq) (r v q)

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