Los sistemas de vectores
Enviado por Ferran Nadal Masanet • 24 de Noviembre de 2015 • Monografías • 7.589 Palabras (31 Páginas) • 495 Visitas
SISTEMAS DE VECTORES
- Introducción
Los sistemas de vectores deslizantes y ligados, constituyen un modelo matemático de gran interés en el estudio de la Mecánica. En efecto, la Cinemática, la Estática y la Dinámica utilizan modelos teóricos basados en los conceptos que se desarrollan en este tema.
Iniciaremos el tema con el estudio de los sistemas de vectores deslizantes, con una exposición de los conceptos generales relativos a los mismos, pasando a continuación a definir la equivalencia entre sistemas de vectores y su reducción. Por último, se analizan con más detalle tres tipos de especial interés: los sistemas de vectores deslizantes concurrentes, los paralelos y los planos.
El estudio de los sistemas de vectores ligados, sigue análogo procedimiento. Se inicia con los conceptos generales relativos a los mismos, pasando a continuación a estudiar con más detalle los sistemas de vectores ligados paralelos.
Se supondrán conocidos por el lector, los conceptos relativos a vectores deslizantes y ligados que recoge el tema vectores.
- Sistemas de vectores deslizantes
- Resultante. Momento resultante de un SVD
Un sistema de vectores deslizantes, SVD, es un conjunto formado por un número cualquiera de vectores deslizantes. Si el número de vectores del sistema es finito, el sistema se denomina discreto. Si el número de vectores que forman el conjunto no es finito, el sistema se denomina continuo. En los sistemas de interés práctico, los vectores de los sistemas discretos tendrán módulo finito y los sistemas continuos tendrán vectores de módulo infinitesimal (diferencial).
Así, un sistema discreto S con n vectores deslizantes lo escribiremos como [pic 3] (para mayor claridad en la exposición, en adelante se usará la escritura condensada [pic 4] donde i varía de 1 hasta n, siendo n el número de vectores del sistema.
Se define la resultante de un sistema de n vectores deslizantes [pic 5]como el un vector libre, suma de los vectores del sistema (considerados a su vez como vectores libres). Analíticamente:
[pic 6] [2.1-1]
Se define el momento central resultante (en adelante momento resultante) de un sistema de vectores deslizantes [pic 7] respecto a un punto P, a la suma de los momentos centrales de cada uno de los vectores que forman el sistema respecto a dicho punto P. Analíticamente:
[pic 8] [2.1-2]
Para mayor claridad en la exposición, se ha supuesto en las expresiones analíticas anteriores, que el sistema es discreto con n vectores. En el caso de sistemas continuos, las expresiones son análogas sustituyendo convenientemente los sumatorios por las adecuadas integrales. Así
[pic 9] [pic 10]
Dado un sistemas de vectores deslizantes [pic 11], a cada punto del espacio se le puede asociar un vector momento central obtenido según [2.1-2], constituyendo lo que se denomina campo de momentos del sistema de vectores deslizantes S.
En el tema de vectores se obtuvo la ecuación fundamental del campo de momentos para un vector deslizante. Recordemos que esta expresión permite obtener el momento de un vector deslizante [pic 12] en un punto cualquiera Q de interés, si se conoce el momento del vector en un punto cualquiera P. Analíticamente:
[pic 13]
Para sistemas de vectores deslizantes, puede encontrarse una expresión formalmente análoga para obtener el momento resultante de un sistema de vectores deslizantes respecto a un punto cualquiera Q, si se conoce la resultante y el momento del sistema en un punto P.
[pic 14]
En efecto, sea un sistema de vectores deslizantes [pic 15], del cual se conoce la resultante, [pic 16] , y el momento resultante respecto a un punto P, [pic 17], el momento central del sistema respecto a otro punto Q será:
[pic 18]
teniendo en cuenta que:
[pic 19]
y la [2.1-1] y [2.1-2] queda finalmente:
[pic 20] [2.1-3]
que se denomina, ecuación fundamental del campo de momentos de un sistema de vectores deslizantes.
Al par [pic 21] se le denomina torsor del sistema S en el punto P.
El campo de momentos de un sistema de vectores deslizantes queda completamente determinado, si se conoce su torsor en algún punto del espacio. Es decir, conocido el torsor en un punto, puede obtenerse el torsor en cualquier otro punto del espacio. En efecto, si consideramos la [2.1-1] y [2.1-3], esta afirmación es inmediata.
En las expresiones anteriores, se ha utilizado la nomenclatura [pic 22] para indicar el momento central del sistema S respecto de P. En adelante, para mayor claridad en la exposición, se omitirá la alusión expresa al sistema de vectores (escribiremos simplemente [pic 23]), si no existe posibilidad de confusión respecto al sistema de vectores a que corresponde. De la misma forma, en adelante escribiremos [pic 24] en lugar de [pic 25]. Con idéntico propósito, en adelantes usaremos también las abreviaturas SV para sistema de vectores y SVD (ya utilizada antes) para sistemas de vectores deslizantes.
- Momento axial de un SVD. Equiproyectividad
Se denomina momento axial de un SVD respecto a una recta Δ, es el escalar dado por:
[pic 26] [2.2-1]
siendo [pic 27] un vector unitario de la recta Δ y P un punto de la misma.
[pic 28]
De la definición y de las propiedades conocidas del producto escalar, es inmediato comprobar que el momento axial tiene una interpretación geométrica clara. En efecto, el valor absoluto de momento axial corresponde a la proyección del momento resultante del sistema respecto a un punto P de la recta Δ sobre la dirección de Δ (es decir, sobre dicha recta o cualquiera paralela a ella). El lector atento habrá observado que, el valor absoluto es necesario cuando se habla de proyección (una distancia es intrínsecamente positiva). En efecto, según el vector unitario adoptado (cualquier recta tiene dos, que como es sabido son vectores opuestos), el resultado en [2.2-1] puede ser negativo. Esta dificultad puede solventarse, escogiendo adecuadamente en [2.2-1] el unitario que dé resultado positivo.
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