Matematica 1

TEORIA DE CONJUNTO

1. Que es un conjunto

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto (aunque cualquier definición dada esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones).1 Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc. La relación de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso .Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Para estudiar los números enteros es necesario conocer la necesidad de crear un sistema numérico. Los números negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros.

2. Determinacion de conjunto

• DETERMINACIONDE CONJUNTOS Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por ComprensiónI) POR EXTENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.Ejemplos:A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.A = { 6;8;10;12;14;16;18}

B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10.B = {-9;-7;-5;-3;-1 }II) POR Comprensiones aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto Ejemplo :P = { los números dígitos }se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

3 Conjunto vacio.

En matemáticas, el conjunto vacío es el conjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único.

Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío. En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula.

4 Relaciones con conjunto .

Una relación , de los conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: en este caso se representa como , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

5. PERTENEN C I A Y NO PERTENENCIA

Cuando un elemento pertenece a un conjunto, se escribe el símbolo Є entre el elemento y el conjunto. Cuando un elemento no pertenece a un conjunto, se escribe el símbolo ∉ entre el elemento y el conjunto

ACTIVIDAD. = Observa el conjunto Luego escribe si pertenece Є o no pertenece ∉ al conjunto F

Gato F Perro F

Balón F pollito F

6. Operaciones con conjunto

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A B, formado por los elementos que estén en al menos uno de los conjuntos A o B. Este conjunto, expresado por comprensión es:

A B = { x U / x A ˅ x B}

Así, podemos decir que los elementos de la unión del conjunto A con el conjunto B son aquéllos que estén o bien en A o en B o en ambos.

7 . Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.[cita requerida] Sus características estructurales más importantes son:

• Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable

• Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)

• Admiten relación de orden

• Admiten relación de equivalencia

• Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).

• Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.

• El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:

8. Propiedades de los conjuntos

➊) Propiedad de cierre.

(a + b) ∈ ℕ (la suma de dos naturales es otro natural)

(a • b) ∈ ℕ (la multiplicación de dos naturales es otro natural)

➋) Propiedad conmutativa.

a + b = b + a

a • b = b • a

➌) Propiedad asociativa.

(a + b) + c = a + (b + c)

(a • b) • c = a • (b • c)

9. operaciones básicas con conjunto

Unión

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:

Intersección

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B . Esto es:

Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo:

Complemento

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como 'A . Esto es:

Diferencia

La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:

10: intervalos

es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

11 ) clasificación de los intervalos

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

• o bien

• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

En la definición de límite de una función real se considera como dominio un intervalo abierto.

En la topología usual de la recta (o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto <a, b> es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].1

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

• Que se indica:

• Notación conjuntista o en términos de desigualdades

Incluye únicamente uno de los extremos.

• Con la notación o bien indicamos.

En notación conjuntista:

• Y con la notación o bien ,

En notación conjuntista:

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudios de diferentes operadores como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.2

Intervalo infinito

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

• Con la notación indicamos.

En notación conjuntista:

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación ,

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

• Con la notación indicamos.

En notación conjuntista:

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación ,

En notación conjuntista:

Para todo valor real:

• Y con la notación ,

En notación conjuntista:

ECUACIONES E INECUACIONES

1: Igualdad de la ecuación

Una ecuaciones una igualdad entre dos expresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En esta unidad se estudian las ecuaciones con una incógnita que se representa por una letra, generalmente la letra x. En un ultimo apartado se hace una breve referencia a las ecuaciones con dos incógnitas, X, e Y.

Cuando la igualdad entre las dos expresiones se verifica para cualquier valor numérico de las incógnitas se llama identidad y no se considera una ecuación.

Ejemplo:

A) -2x = 8 Es una ecuación con una incógnita

2: Propiedades de una ecuación

Resolver una ecuación es calcular el o los valores de la o las incógnitas para que la igualdad sea verdadera.. Para esto se

...