Matematicas 1

Unidad 1

Números Reales.

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Tipos de números reales

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.

5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

Es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

Un ejemplo de número trascendente es

Operaciones con números reales

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).

2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0•x=1).

Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.

Propiedades de los Números Reales

Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas.

1. Si , entonces (Cerradura en la suma)

2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)

3. Si , entonces (Asociatividad en la suma)

4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)

5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo)

6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)

7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)

8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)

9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)

10. Para cada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo)

11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma)

12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)







13. Si , y entonces (Transitividad)

14. Si y , entonces (Monotonía en la suma)

15. Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación)

16. Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en (Axioma del supremo)

Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue de otros cuerpos ordenados como .

Diferentes clases de números reales.

Clasificación de números

Complejos

Reales Racionales Enteros

Naturales Naturales primos

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