Matematicas Modelo Nuevo

UNIDAD I

DESIGUALDES

1.- CLASIFICACION Y PROPOSICIONES DE LOS NUMEROS REALES.

-No. Entero (+, - y cero)

-NUM. RACIONALES -No. Fracciones (+, - y que

Números no sean cero).

Reales

-NUM. IRRACIONALES

NUMEROS RACIONALES

Es cualquier número que se puede expresar como la razón de dos enteros p/q en donde P. Q sean enteros diferentes de cero como ejemplo: 6 5, 3,-10, -5 y fracciones tales como ½, ¾, -1/8, como también los decimales conmensurables positivos y negativos tales como:2.36=2.36/100, y los decimales inconmensurables periódicos positivos y negativos tales como: 0.3333… 1/3, 0.5495495= 61/111.

CONMENSURABLES

Cantidades Exactas

INCONMENSURABLES

Cantidades Inexactas y Repetitivas.

NUMEROS IRRACIONALES

Estos son decimales inconmensurables y no periódicos

2.- RECTA NUMERICA Y CONCEPTOS DE INTERVALO

INTERVALO ABIERTO

Es el conjunto de todo los números que cumplen la desigualdad continua.

( a, b ) = {x/a < x < b }

( )

A B

Un intervalo abierto se puede considerar como aquel que no contiene sus puntos extremos y un intervalo cerrado se puede considerar como el que contiene sus dos extremos.

Los intervalos se emplean para representar conjuntos de soluciones de desigualdades en una variable.

[ A, B ]= {X/A  x  b}

A B

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA

( A, B ] = {X/A < X  B}

A B

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA.-

[ A, B ) = {X/A  X < B }

A B

La variable X nunca debe ser negativa, siempre positiva.

(A,  ) = { X/X > A }

A 

(- , B ) = { X/X < B }

-  B

[A, ) = {X/X  A }

A 

(-, B] = { X/X  B }

-  B

DESIGUALDADES

EJERCICIOS: DESIGUALDADES SIMPLES

5X + 2 > X –6

5X-X > -6 -2

4X > -8

X > -8/4

X > -2

SOLUCION

( -2,  )

(

-2 

3 -X < 5 + 3X

-3X -X < 5 -3

-4X < 2

-X < 2/4

Nota: Nunca debe quedar la X negativa, por lo tanto se multiplica por (-1) ambos lados y cambiar el signo de la desigualdad.

(-1) (-X < 2/4)

X > -2/4

Simplif. X<-1/2

SOLUCION

( -1/2,  )

(

-1/2 0 

2/3X –1/2  0

2/3X  ½

X  1 (3)

2 (2)

X  3/4

SOLUCION

( - , ¾]

]

-  0 3/4

3 – 2X  9 + 4X

-2X -4X  9 -3

-6X  6

-X  6/6

-X  1

(-1) (-X  1)

X  -1

SOLUCION

( - , -1]

]

-  -1 0

2 + 3X < 5X + 8

3X -5X < 8 - 2

-2X < 6

-X < 6/2

-X <3

(-1) (-X > 3)

X >-3

SOLUCION

( -3,  )

(

- 3 0 

X/5 - ¼  2/5 4 + 6X < 10X + 16

X/5  2/5 + ¼ = 8 + 5 = 13/20 6X - 10X < 16 - 4

20

X/5  13/20 -4X < 12

X  13/20 (5) = 65/20 -X < 12/4

X > 65/20 -X < 3

Recordar la regla de multiplicar por

[ 65/20, ) (-1) (-X<3) = X>-3

[ (-3, )

(

0 65/20 

-3 0 

9 - 6X >81 + 32X

-6X- 32X > 81 - 9

-38 X > 72

-X > 72/38

Mult. Por (-1)

(-1) (-X > 72/38) = X < -72/38

( -  , -72/38 )

)

-  -72/38 0

RESOLUCIÓN CON 2 DESIGUALDADES.

13  2X -3 >5

13  2X -3 2X -3  5

13+3  2X 2X  3+5

16  2X 2X  8

16/2  X X  8/2

8  X X  4

SOLUCION

[4 , 8 ]

( 8  X  4 ) [ ]

0 4 8

4 < 3X –2  10

4 < 3X –2 3X –2  10

4 +2 < 3x 3x –2  10

6 < 3x 3x  10 +2

6/3 < x 3x  12

2 < x x  12/3

x  4

SOLUCION

(2 < X  4 )

(2 , 4]

( ]

0 2 4

4 > -6 -6X  -14 6  15 - 9X < 33

4> -6 -6X -6 -6X  -14 6  15-9X 15 - 9X < 33

4 + 6 > -6X -6X  -14 + 6 6 -15  -9X -9X < 33 - 15

10 > -6X -6X  - 8 -9/9  - X -9X < 18/9

10/6 > -X -X  -8/6 -1  - X -X < 2

Mult. Por (-1) Mult. Por (-1) Mult. Por -1 Mult. Por -1

(-1) (10/6 > -X) (-1) (-X  -8/6) (-1) (-1  -X) (-1) (-X < 2)

-10/6 < X X  8/6 1  X X > -2

Simplif. -5/3 < X Simplif. X  4/3

Solución General -5/3 < X  4/3 Solución General 1  x -2

( -5/3 , 4/3] ( -2 , 1]

( ] ( ]

-5/3 0 4/3 -2 0 1

-2 < 6- 4x  8

-2 <6 – 4X 6 -4 X  8

-2 –6 < -4X -4X  8 -6

-8 < -4X -4X  2

-8/4

...