Matematicas

Relaciones entre conjuntos

Parejas ordenadas

El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo:

{3, 5} = {5, 3}

Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los cuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

Producto cartesiano

Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.

La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos.

Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:

A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}

El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.

Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.

EJEMPLO

Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b. A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.

Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas.

Correspondencias y aplicaciones entre conjuntos

A partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones más importantes que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados.

Correspondencias

Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ entre A y B a un subconjunto del producto cartesiano de A por B.

Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representa por G.

Se definen también los siguientes conjuntos:

• El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen las flechas.

• El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las flechas.

• El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial de los que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original está incluido en el conjunto inicial.

• El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto final a los que llega alguna flecha. Por tanto, el conjunto imagen está incluido en el conjunto final.

El símbolo ∇ se lee “para cada”, “para toda” o “para cualquier”

El símbolo ∃ se lee “existe” o “para alguna”

El símbolo ∴ se lee “por lo tanto” igualmente que el símbolo ├

El símbolo ≡ se lee “lógicamente equivalente” o “sencillamente iguales”

Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 3

EJEMPLO

Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que

G es un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).

La correspondencia está representada gráficamente en:

a) un diagrama cartesiano.

b) Un diagrama de flechas.

Tipos de correspondencia

1. Correspondencia en o inyectiva: Una correspondencia ƒ es inyectiva cuando cada elemento del conjunto imagen es imagen de un solo elemento del conjunto original; es decir, a cada elemento del conjunto final puede llegarle una o ninguna flecha.

2. Correspondencia sobre o suprayectiva o exhaustiva: Una correspondencia ƒ es sobre cuando el conjunto imagen coincide con el conjunto final; es decir, cuando todo elemento del conjunto final es imagen de al menos uno del inicial.

3. Correspondencia unívoca: Una correspondencia ƒ es unívoca cuando cada elemento del conjunto original tiene como máximo una imagen; es decir, de cada elemento del conjunto inicial puede partir una o ninguna flecha al conjunto final.

4. Correspondencia multívoca: Una correspondencia ƒ es multívoca cuando existe algún elemento del conjunto inicial con dos o más imágenes.

5. Correspondencia biunívoca: Una correspondencia unívoca ƒ entre dos conjunto A y B es biunívoca cuando su correspondencia inversa ƒ-1 también es unívoca.

Aplicaciones

Una aplicación es una correspondencia unívoca donde el conjunto original coincide con el conjunto inicial. Es decir, de cada elemento del conjunto inicial parte una y solo una imagen al final.

Simbólicamente podemos expresarlo

...