Matemática para las ciencias de la computación

Instituto Politécnico Nacional[pic 1][pic 2]

[pic 3]

Centro de Investigación en Computación[pic 4]

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Matemática para las ciencias de la computación.

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Tarea2

Profesora:

Alumna:

[pic 5]

Ciudad de México, Febrero 2017

Se llama paradoja matemática a ciertos resultados notoriamente falsos que parecen deducirse de demostraciones rigurosas, pero durante las cuales se ha efectuado una operación que no tiene sentido, o un razonamiento erróneo, o una construcción geométrica cuyo trazado no es correcto.

Algunos ejemplos de paradojas:

PARADOJA 1:

Sean dos números iguales y  pertenecientes a los elemento de los Naturales y distintos de cero,  escribiremos:[pic 6][pic 7]

[pic 8]

Multiplicando ambos lados de ésta igualdad por el mismo número "" obtenemos:[pic 9]

[pic 10]

Ahora restamos de ambos lados el mismo número "" tenemos:[pic 11]

[pic 12]

Factorizando en ambos lados:

[pic 13]

Dividiendo entre  cero tenemos:[pic 14]

[pic 15]

Pero como al inicio asumimos que  entonces podemos escribir:[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

De donde finalmente se obtiene que:

      🗴[pic 19]

El error radica en que si asumió al inicio que  son elementos del conjunto de los naturales y ambos distintos de cero, además que  entonces  y la división por cero no está permitida de allí que evidentemente 2 no es igual a 1.[pic 20][pic 21][pic 22]

PARADOJA 2:

Sea el triángulo  y los puntos  los puntos medios de sus lados.[pic 23][pic 24]

Tracemos las rectas  y :[pic 25][pic 26]

Por haberse formado un paralelogramo  resulta:  [pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

Efectuando una construcción análoga para los triángulos  y  y continuando indefinidamente de este modo, vemos que los segmentos divididos sucesivamente formados tienen siempre su longitud igual a .  Como la longitud de los segmentos que forman los segmentos más pequeños disminuye constantemente y sus vértices se aproximan cada vez más a la recta  decimos entonces que:[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

En el límite, el perímetro de los segmentos divididos llega a confundirse con el segmento  y por consiguiente:[pic 34]

[pic 35]

Esta paradoja se explica por la falsa interpretación del  término <<límite>> cuya definición precisa es:

Se dice que una magnitud variable x tiende hacia un límite determinado , si los valores sucesivos de x se aproximan al número A de modo que el valor absoluto de la diferencia  pueda llegar a ser menor que todo número positivo dado, por más pequeño que éste sea, usando notación matemática se tiene:[pic 36][pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

En este ejemplo  son respectivamente, el perímetro de los segmentos divididos y la longitud del lado . Pero  es constante y no variable, y la diferencia  es también constante.[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

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