Matrices De Markov

Misión de Paz en Afganistán

Trabajo Matemáticas

Índice

Introducción y objetivos principales……………………………………………………………………Pág. 2

1. Estudiar el comportamiento de las potencias de una matriz…………………………..Pág. 3

2. Búsqueda bibliográfica sobre matrices de Markov………………………………………….Pág. 6

3. Matriz de tránsito de una base a otra……………………………………………………………..Pág. 7

4. Calcular An y hallar su límite…………………………………………………………………………..Pág. 9

5. Verificación de hipótesis...………………………………………………………………………………Pág. 14

6. A un tiempo n del comienzo de la misión.………………………………………………………Pág. 15

7. Aplicaciones……………………………………………………………………………………………………Pág. 17

Bibliografía………………………………………………………………………………………………………..Pág. 19 

Introducción y Objetivos principales

El objetivo de este trabajo es estudiar la convergencia de la sucesión de potencias de una matriz dada, es decir la sucesión:

A, A2, A3, A4,…, An,…

Este problema se puede abordar construyendo la potencia enésima de A, An, y calculando el límite, cosa que no siempre es fácil, o directamente con los valores propios de la matriz A sin necesidad de hallar la potencia.

En el trabajo se nos facilita un texto sobre la cantidad de militares distribuidos en las tres bases militares de Afganistán. El problema surge debido a una reordenación de tropas que se produce mensualmente de una base a otra, estos datos están dados en porcentajes sobre las tropas totales de cada base.

Saber la cantidad de tropas que hay al haber trascurrido un mes, es una tarea fácil, pues solamente tenemos que sumar y restar, pero el problema que nosotros debemos resolver es saber la cantidad de tropa que hay en las bases en función de un tiempo: t = n.

Para realizar este trabajo necesitamos encontrar una matriz cuadrada, pxp, que en nuestro caso es 3x3, que sirva como matriz de transición para un futuro indefinido y a esa matriz la llamaremos A.

Para comenzar haremos un estudio del método general y el comportamiento de la potencia de una matriz usando valores y vectores propios.

Posteriormente calcularemos esta matriz A y deduciremos mediante cálculos An, para poder calcular los demás apartados del trabajo.

Para finalizar explicaremos la búsqueda bibliográfica que hemos realizado sobre las matrices de Markov y el teorema de Perron-Frobenius así como las aplicaciones de dichas matrices de Markov a la Ingeniería, la Organización Industrial y la Defensa.

1. Estudiar el comportamiento de las potencias de una matriz

Para explicar el método que vamos a usar, nos parece importante comenzar desde la base, pues para hacer la potencia enésima de la matriz A vamos a tener que calcular varias matrices de cambio de base y una matriz diagonal que nos facilitará la solución al problema que nos han impuesto.

Como hemos dicho antes, necesitamos que la matriz A sea cuadrada, pero ¿Cuál es el motivo? La respuesta es porque vamos a trabajar en una aplicación lineal tal que:

F: V  V, donde el espacio inicial y el final coinciden, esta aplicación se denomina: “Endomorfismo”.

Ahora enunciaremos una propiedad: Sabemos que B y B’ son bases de V; Por lo tanto podemos afirmar que:

Mf (B’) = PB B’ • Mf (B) • PB’ B

A = P • B • Q (Q = P-1 al ser el cambio de base inverso)

A = P • B • P-1

Dos matrices A y B (cuadradas) son matrices del mismo endomorfismo si y solo si se cumple la propiedad que acabamos de nombrar. Tras esto, ¿Cuál es ahora nuestro objetivo? Pues dado un endomorfismo, queremos encontrar una base B de V tal que B sea una matriz diagonal: D.

Para que B sea diagonal, los vectores deben tener unas características determinadas, pues cada vector ha de cumplir que f(vi) = λ•vi, λ є K.

Explicaremos esto con un ejemplo:

f: R2  R2

(x, y)  (y, x)

Para que sea base necesitamos 2 vectores, pues vamos a probar:

(1, 2) f(1, 2) = (2, 1) ≠ λ(1, 2) λ є R NO VALE

(3, 4) f(3, 4) = (4, 3) ≠ λ(3, 4) λ є R NO VALE

(-1, 1) f(-1, 1) = (1, -1) = λ(-1, 1) λ = -1 VALE

(1, 1) f(1, 1) = (1, 1) = λ(1, 1) λ = 1 VALE

Con lo cual B = {(1, -1), (1, 1)} donde f(vi) = λ•vi tal que:

λ1 0 -1 0

Mf (B) = =

0 λ2 0 1

Como vemos ya hemos conseguido que sea diagonal; a partir de ahora definiremos v como vector propio de f con valor propio λ.

Una vez expuesto el ejemplo, ya nos hemos hecho una idea de que lo tenemos que hacer; ahora vamos a mecanizar la diagonalización del endomorfismo. Supongamos que tenemos una base B de V y hemos calculado ya la matriz Mf(B), con lo que hemos explicado antes, ¿podemos utilizar este cálculo para llegar a la base B’ que hace a la matriz Mf(B’) diagonal? La respuesta es sí:

f: V  V

v  f(v) tal que XB  YB = Mf(B)•XB = A• XB

vectores propios: f(v) = λ•v donde (v є K / v  V / v ≠ 0)

YB = λ • XB (Pero hemos quedado que: YB = A• XB)

A• XB = λ • XB  (λ – A)• XB = 0 *Hay que tener en cuenta que necesitamos que λ sea una matriz para poder restarle A:

(λ • I – A) • XB = 0

Al realizar estos cálculos, necesitamos que el sistema sea compatible indeterminado, es decir, que el rango de (λ • I – A) < orden A; para que haya soluciones no nulas.

Una vez demostrado todo esto, los cálculos ya se simplifican mucho más, y para obtener los valores propios, simplemente hay que hacer el determinante e igualar a cero, es decir: |λ • I – A| = 0. Estas ecuaciones nos proporcionan los valores propios de f, es decir: λ1, λ2,…, λr donde el sistema tendría r soluciones.

Ya calculados los valores propios, definimos un subespacio vectorial E(λ) que contiene a todos los valores propios de λ y el vector nulo; y un polinomio característico p(λ), del cual sus raíces son los valores propios de f tal que p(λ) = (λ•I – A).

Solamente nos queda ya calcular los vectores propios que luego colocaremos en la matriz P que nos servirá para calcular An; para calcular dichos vectores propios, seguimos la fórmula que hemos recuadrado en el apartado anterior, sustituyendo ya λ por cada uno de sus valores correspondientes, tantas veces como λ haya en el subespacio vectorial E(λ), y ya despejamos XB y colocamos estos vectores en una matriz P colocados en columnas.

Resumiendo lo anterior, hemos conseguido ya: una matriz diagonal D formada por los valores de λ en su diagonal, y todo lo demás 0’s, y una matriz P formada por los vectores propios en columnas.

Ahora queremos calcular An, sabiendo que: A = P • D • P-1

(n veces)

An = A•A•A•A……A = P•D•P-1 • P•D•P-1 • P•D•P-1 •……• P•D•P-1= P•Dn•P-1

Una vez hallada la matriz An si queremos calcular su límite cuando n tiende a infinito, simplemente cogemos cada elemento de la matriz y hacemos su límite cuando este tiende a infinito. Una vez hayamos hecho todos, colocamos su límite en el lugar donde estaba cada elemento, y nos queda la matriz An, cuando n tiende a infinito. 

2. Búsqueda bibliográfica sobre matrices de Markov

Las cadenas de Markov son una herramienta para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos, procesos que evolucionan de forma no determinista a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados.

Los valores propios de una matriz estocástica tiene siempre modulo inferior o igual a 1.

Una cadena de Markov, por tanto, representa un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema. Dichos cambios no están predeterminados, aunque si la probabilidad del próximo estado en función de los anteriores, probabilidad constantes a lo largo del tiempo.

Los estados que pueden sucederse a sí mismos y además, son posibles de alcanzar, se denominan estados transitorios. Nosotros en nuestro caso estudiaremos las cadenas de Markov con un número infinito de estados mediante la ley de probabilidad condicional, la cual podemos expresar mediante la llamada matriz de probabilidades de transición P, denominada matriz de la cadena.

Una matriz de transición para una cadena de Markov de n estados es una matriz de n x n, con todos los elementos positivos y con la propiedad adicional de que la suma de los registros de cada columna (o fila) es 1.

Si conocemos los valores propios de una matriz de probabilidades de transición, podemos conocer ciertas propiedades de dicha cadena de Markov como detectar el número de clases finales y su periodicidad, así como si es regular, irregular o cíclica.

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