Mecanica clasica

Inciso b:

Como la velocidad es la derivada de la posición de la partícula, entonces:

(t) = =  =R[(cos+R[(sen(t)][pic 8]      (3).[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Como el Sistema de referencia es inercial, los vectores unitarios: [pic 9] y [pic 10] son constantes y realizando las derivadas involucradas en la igualdad inmediata anterior queda:

(t) = R[-(+()[pic 15]]         (4).[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

En esta igualdad así determinada, la derivada de la variable angular con respecto al tiempo; por definición es la rapidez angular; o sea que:

 = , siendo las unidades de ésta, en el sistema internacional de unidades: rad/s. y del subtema de coordenadas polares la función con magnitud igual a la unidad -(+()[pic 20], normalmente se representa con el símbolo.     ; o sea que:[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 21]

   =  -(+()[pic 25], haciendo las sustituciones correspondientes en la ecuación (4) queda: [pic 22][pic 23][pic 24]

[pic 26]

(t) =R        (5). [pic 27][pic 28]

Aclarando que  ; representa la dirección de la velocidad de la partícula y como la velocidad es tangente a la trayectoria de desplazamiento de la partícula como se muestra en la figura 2.3; pero además R es la magnitud de la función que representa la posición de la partícula (t) y la magnitud de la velocidad angular entonces la igualdad está representada por un producto vectorial de los vectores:   y  (t); quedando:[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

(t) = x(t)          (6).[pic 34][pic 35][pic 36]

Como la trayectoria de la partícula es la circunferencia de radio R en el plan xy, entonces la velocidad angular es:  = ; aclarando que la rapidez angular en lo general es función del tiempo; remarcando que. (t) =R.[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Inciso c:

Como la aceleración es la derivada de la velocidad; de tal forma que:

 =  =  = x(t) + x            (7).[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Por definición a la derivada de la velocidad angular se le llama aceleración angular y normalmente se representa con el símbolo “”; aclarando que las unidades de la magnitud de la aceleración angular en el sistema internacional de unidades son rad/s2; pero también  = x(t); quedando de la igualdad (7).[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

 = x(t) + x(x(t))         (8).[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

Puesto que  =  =  [pic 61] =  , (t) = R , entonces aplicando el producto vectorial se tiene:[pic 58][pic 59][pic 60][pic 62][pic 63][pic 64]

x(t) = R  ; pero también del triple producto vectorial se sabe que:[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

x(x(t)) = ((t))  – (  ) (t), como la función que representa la posición de la partícula y la velocidad angular son perpendiculares entonces su producto punto es “0” &    = ; quedando de la ecuación (8).[pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

 = R   -  R=   +        (9).[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88]

 Note que la aceleración  tiene dos aceleraciones una radial -  R dirigida hacia el centro de curvatura, también llamada aceleración centrípeta y otra aceleración R  , que es tangente en este caso a la circunferencia de radio R, por lo que se le llama aceleración tangencial; gráficamente estas aceleraciones se ilustran en la figura 2.4.[pic 94][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93]

Como una parte complementaria de la respuesta de este ejercicio y de la definición de la velocidad angular se obtiene;

(t) = o+ t          (10);  pero también por definición (t) = ; realizando la integración correspondiente queda:[pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99]

 (t) =  o+ ot+t2       (11) y aplicando el producto escalar definido en el cálculo vectorial y con ayuda de las ecuaciones: (10) y (11) se determina: [pic 100][pic 101][pic 102][pic 103]

  [(t)]2= [o]2+2 [(t)-o]            (12).[pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108]

Comentario.4.- Las ecuaciones fundamentales de la cinemática puntual para sistemas de referencia inerciales son hasta CP-12, las obtenidas en el ejercicio 2 son complementarias, para objetos vistos como puntos que se desplazan en una circunferencia de radio R.

Ejemplo.6. - Si la rotación de la Tierra aumentara hasta que la magnitud de su aceleración centrípeta fuera numéricamente igual a la magnitud del campo gravitacional terrestre, valuado en el Ecuador y a nivel del mar. Hallar la rapidez   de una persona colocada sobre el ecuador, considerando que el radio medio de la tierra es 6370Km.

RESPUESTA.- Como la Tierra está  rotando con una velocidad angular  y la persona está situada en el Ecuador, entonces la persona se desplaza en una circunferencia de radio R como se muestra en la figura 6.1; siendo (t) la posición de la persona aquí considerada y colocando el sistema de referencia en el centro de la circunferencia, entonces aplicando la ecuación (6) queda:[pic 111][pic 109][pic 110]

(t) = x(t)          (1).[pic 112][pic 113][pic 114]

Como la velocidad angular y la función que representa la posición de la persona son perpendiculares, entonces la rapidez de la persona queda como:

V=R     (2); con R el radio medio de la Tierra, o sea que R=6370x103m.[pic 115]

Por hipótesis la magnitud de la aceleración centrípeta es 9.81m/s2; pero = R, quedando:[pic 116][pic 117]

 =  =rad/s= 0.00124rad/s; sustituyendo en la ecuación (2) se tiene:[pic 118][pic 119][pic 120]

V=(0.00124)(6370x103)m/s = 7898.8m/s.

Nociones de movimiento relativo.

Considere una partícula, que se desplaza en el espacio, visto como un punto y observado desde dos sistemas de referencia, uno inercial “0” y otro no inercial “0r”, quizás como se muestra la figura 1r.[pic 121]

La posición de la partícula vista desde el sistema de referencia inercia “0” y aplicando la definición de suma de vectores de la fig1r es:

(t) =   +             mr-1[pic 122][pic 123][pic 124]

Aclarando que  representa la posición del sistema de referencia no inercial visto desde el sistema de referencia inercial “0”,   es la posición de la partícula vista desde el sistema de referencia no inercial.[pic 125][pic 126]

Como la velocidad de la partícula con respecto al sistema de referencia inercial “0” es la derivada con respecto al tiempo de la función que representa a la posición de la partícula: de tal forma que:

(t) = [   +  ]=  +                mr-2.[pic 127][pic 128][pic 129][pic 130][pic 131][pic 132]

En esta igualdad así formulada la  es la velocidad del sistema de referencia no inercial, vista desde el sistema de referencia inercial que se representa también +  es la velocidad de la partícula aquí considerada, vista desde el sistema de referencia “0r” no inercial, se representa con (t); quedando de la ecuación mr-2.[pic 133][pic 134][pic 135]

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