Mecanica clasica

Inciso b:

Como la velocidad es la derivada de la posición de la partícula, entonces:

(t) = =  =R[(cos+R[(sen(t)][pic 8]      (3).[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Como el Sistema de referencia es inercial, los vectores unitarios: [pic 9] y [pic 10] son constantes y realizando las derivadas involucradas en la igualdad inmediata anterior queda:

(t) = R[-(+()[pic 15]]         (4).[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

En esta igualdad así determinada, la derivada de la variable angular con respecto al tiempo; por definición es la rapidez angular; o sea que:

 = , siendo las unidades de ésta, en el sistema internacional de unidades: rad/s. y del subtema de coordenadas polares la función con magnitud igual a la unidad -(+()[pic 20], normalmente se representa con el símbolo.     ; o sea que:[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 21]

   =  -(+()[pic 25], haciendo las sustituciones correspondientes en la ecuación (4) queda: [pic 22][pic 23][pic 24]

[pic 26]

(t) =R        (5). [pic 27][pic 28]

Aclarando que  ; representa la dirección de la velocidad de la partícula y como la velocidad es tangente a la trayectoria de desplazamiento de la partícula como se muestra en la figura 2.3; pero además R es la magnitud de la función que representa la posición de la partícula (t) y la magnitud de la velocidad angular entonces la igualdad está representada por un producto vectorial de los vectores:   y  (t); quedando:[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

(t) = x(t)          (6).[pic 34][pic 35][pic 36]

Como la trayectoria de la partícula es la circunferencia de radio R en el plan xy, entonces la velocidad angular es:  = ; aclarando que la rapidez angular en lo general es función del tiempo; remarcando que. (t) =R.[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Inciso c:

Como la aceleración es la derivada de la velocidad; de tal forma que:

 =  =  = x(t) + x            (7).[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Por definición a la derivada de la velocidad angular se le llama aceleración angular y normalmente se representa con el símbolo “”; aclarando que las unidades de la magnitud de la aceleración angular en el sistema internacional de unidades son rad/s2; pero también  = x(t); quedando de la igualdad (7).[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

 = x(t) + x(x(t))         (8).[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

Puesto que  =  =  [pic 61] =  , (t) = R , entonces aplicando el producto vectorial se tiene:[pic 58][pic 59][pic 60][pic 62][pic 63][pic 64]

x(t) = R  ; pero también del triple producto vectorial se sabe que:[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

x(x(t)) = ((t))  – (  ) (t), como la función que representa la posición de la partícula y la velocidad angular son perpendiculares entonces su producto punto es “0” &    = ; quedando de la ecuación (8).[pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

 = R   -  R=   +        (9).[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88]

 Note que la aceleración  tiene dos aceleraciones una radial -  R dirigida hacia el centro de curvatura, también llamada aceleración centrípeta y otra aceleración R  , que es tangente en este caso a la circunferencia de radio R, por lo que se le llama aceleración tangencial; gráficamente estas aceleraciones se ilustran en la figura 2.4.[pic 94][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93]

Como una parte complementaria de la respuesta de este ejercicio y de la definición de la velocidad angular se obtiene;

(t) = o+ t          (10);  pero también por definición (t) = ; realizando la integración correspondiente queda:[pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99]

 (t) =  o+ ot+t2       (11) y aplicando el producto escalar definido en el cálculo vectorial y con ayuda de las ecuaciones: (10) y (11) se determina: [pic 100][pic 101][pic 102][pic 103]

  [(t)]2= [o]2+2 [(t)-o]            (12).[pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108]

Comentario.4.- Las ecuaciones fundamentales de la cinemática puntual para sistemas de referencia inerciales son hasta CP-12, las obtenidas en el ejercicio 2 son complementarias, para objetos vistos como puntos que se desplazan en una circunferencia de radio R.

Ejemplo.6. - Si la rotación de la Tierra aumentara hasta que la magnitud de su aceleración centrípeta fuera numéricamente igual a la magnitud del campo gravitacional terrestre, valuado en el Ecuador y a nivel del mar. Hallar la rapidez   de una persona colocada sobre el ecuador, considerando que el radio medio de la tierra es 6370Km.

RESPUESTA.- Como la Tierra está  rotando con una velocidad angular  y la persona está situada en el Ecuador, entonces la persona se desplaza en una circunferencia de radio R como se muestra en la figura 6.1; siendo (t) la posición de la persona aquí considerada y colocando el sistema de referencia en el centro de la circunferencia, entonces aplicando la ecuación (6) queda:[pic 111][pic 109][pic 110]

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