Modelos analíticos de fenómenos aleatorios medidos en variables continuas

Modelos analíticos de fenómenos aleatorios medidos en variables continuas.

Sandra Inostroza Díaz

Inferencia Estadística

Instituto IACC

25-11-2018

Desarrollo

1.- Hallar la probabilidad de obtener entre 6 y 9 caras inclusive, en 15 lanzamientos de una moneda aplicando:

a) Distribución binomial.

Sea Y el número de caras en 15 lanzamientos de una moneda, Y distribuye binomial con:

n=15, el cual es el número de ensayos que se tiene.

P=0,5, es la probabilidad de éxito, es decir, que salga cara al lanzar la moneda. Como una moneda solo tiene dos opciones, la probabilidad tiene un resultado de 0,5.

K= es el número de aciertos, los cuales en esta situación son entre 6 y 9.

Como se pide la probabilidad de obtener entre 6 y 9 caras como acierto, lo que debemos calcular es:

[pic 1]

La fórmula utilizada en el cálculo es:

[pic 2]

Como se trata de una variable discreta, debemos sumar las probabilidades de cada caso, lo que quedaría de la siguiente forma:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Por lo tanto, la probabilidad de obtener entre 6 y 9 caras en 15 lanzamientos de la moneda es de 0,69824.

b) Aproximación normal a la binomial, con corrección de continuidad.

Sea X una variable aleatoria binomial con media np y desviación estándar . La distribución de la variable aleatoria tiende a la normal estándar conforme la ecuación .[pic 18][pic 19]

Recordando que la distribución binomial tiene esperanza E(x)=np y varianza , se reemplaza en la variable estandarizada y tenemos que:[pic 20]

[pic 21]

En este caso se usará la aproximación de la distribución binomial a la normal. Para ello la variable Y se aproximara a una distribución normal. Esta aproximación se realiza construyendo la variable estandarizada mencionada anteriormente.

[pic 22]

Por lo que ahora reemplazamos, donde se tiene:

X= número de aciertos que se tienen lanzando la moneda, los cuales son entre 6 y 9 caras.

n= número de lanzamientos de la moneda, que en este caso son 15.

p= probabilidad de éxito, es decir, que salga cara al lanzar la moneda como solo tenemos dos opciones, o es cara o sello, la probabilidad tiene un valor de 0,5.

Reemplazando:

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Será normal N(0,1) para poder obtener la probabilidad de la tabla Z. Cada valor de la distribución binomial se convierte en un intervalo de la distribución normal de amplitud 1, centrado en dicho valor. Además, se aplicará la corrección por continuidad para obtener una mejor aproximación, con lo que resulta:

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