Modelos Matemáticos y Variables de Estado

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA[pic 1]

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA

EDUCACIÓN UNIVERSITARIA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

                             EXTENSIÓN MATURÍN

Modelos Matemáticos y Variables de Estado

Autor: Br. Fernando López

Maturín, Septiembre de 2018

INTRODUCCCIÓN

Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

Las variables de estado describen el estado de un sistema o de uno de sus componentes, ya sea al comienzo, al final o durante un periodo de tiempo. Estas variables interaccionan con las exógenas y las endógenas del sistema, de acuerdo a las relaciones funcionales dispuestas.

En el presente trabajo se expondrá acerca de los Modelos Matemáticos, Modelado de Sistemas y Variables de Estado.

Modelo Matemático

Un modelo matemático es una representación mediante el uso de operaciones matemáticas (suma, resta, división, potencia, etc.) para describir una acción o probabilidad de la vida real, por este motivo, también se pueden ocupar para predecir sucesos.

A continuación, veremos los pasos a seguir para crear nuestro modelo.

Pasos a seguir:

1. Tomar un problema de la vida real, el cual queremos resolver.

2) Expresar este problema en términos matemáticos. 

3) Resolver el modelo matemático usando las herramientas de matemáticas. 

4) Comprobar que la solución obtenida con nuestro modelo se aplique a el problema debíamos resolver.

5) si su resultado es correcto, entonces, el modelo que creamos es correcto.

Sistemas Eléctricos

En los sistemas eléctricos encontramos como variables descriptivas principales a las tensiones y corrientes. La teoría de circuitos caracteriza los fenómenos asociándolos a dipolos que vinculan estática o dinámicamente tensiones y corrientes.

Leyes de Electricidad

Basado en la ley de Ohm, la teoría de circuitos representa el fenómeno de disipación de energía mediante un dipolo (resistencia) que establece una relación entre la tensión y corriente.

[pic 2]

Otros fenómenos fundamentales de estos sistemas son la acumulación de energía en forma de campo eléctrico. Este es descripto por la ley de Coulomb, de la cual se deducen las relaciones que describen el fenómeno de capacitancia.

[pic 3]

Alrededor de una carga en movimiento o corriente hay una región de influencia que se llama campo magnético. La variación del campo magnético con respecto al tiempo, induce una fuerza electromotriz en el circuito. Las relaciones entre las variables asociadas al fenómeno de almacenamiento de energía en el campo magnético pueden deducirse de las leyes de Faraday y de Ampere. El fenómeno, que la teoría de circuitos caracteriza mediante la inductancia, puede describirse a partir de la siguiente ecuación.

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Por último, encontramos relaciones asociadas a la estructura de los circuitos eléctricos. Estas no son otras que las leyes de Kirchhoff de tensión y corriente. Recordemos que éstas establecen respectivamente que la suma de las tensiones en una malla cerrada es igual a cero y que la suma de las corrientes entrantes a un nudo es también nula.

Ejemplo

Sistema RC

Consta de una resistencia R y un capacitor C en serie, a los cuales se le aplica una tensión de entrada U(t).

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De acuerdo a la ley de Kirchhoff de tensión, la sumatoria de tensiones en la malla será nula:

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Si se considera a la corriente como el flujo de carga

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Se obtiene la ecuación. Esta ecuación describe la dinámica del sistema y permite representar la evolución de la corriente respecto al tiempo.

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Notar que inicialmente se consideró al capacitor descargado. En el caso de que éste hubiese estado cargado, se tendría que haber considerado dicha carga como condición inicial de la integral. será de estudio

Modelado de sistemas mecánicos

Conceptos básicos:

• La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que contiene.
• La fuerza se define como la causa que tiende a producir un cambio en el movimiento del cuerpo al cual se aplica.

Segunda ley de Newton para los sistemas de traslación: La fuerza aplicada a un cuerpo es igual a masa dicho cuerpo por su aceleración.

[pic 9]

Segunda ley de Newton para los sistemas de rotación: En estos sistemas el equivalente del concepto masa y fuerza corresponde al de inercia y par, respectivamente.

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• Donde J el momento de inercia de la carga
• α La aceleración angular  
• T el par aplicado.

Sistemas neumáticos.

Estos sistemas se emplean mucho en la automatización de la maquinaria de producción y en el campo de los controladores automáticos. Por ejemplo, tienen un amplio uso los circuitos neumáticos que convierten la energía del aire comprimido en energía mecánica, y se encuentran diversos tipos de controladores neumáticos en la industria. Las últimas décadas han visto un gran desarrollo de los controladores neumáticos de baja presión para sistemas de control industrial, que en la actualidad se usan ampliamente en los procesos industriales. Entre las razones para que estos controladores resulten atractivos están que son a prueba de explosiones, son sencillos y son fáciles de mantener.

• Las variables del sistema neumático son caudal másico, qm y presión P
• La tasa de flujo másico es una variable directa y es análoga a la corriente.
• La variable de presión es variable y es análogo al voltaje.
• Los dos elementos básicos de un sistema neumático son resistencia y capacitancia

La resistencia al flujo de gas, R se define como la tasa de cambio entre la diferencia de presión de gas y la tasa de flujo de gas.

[pic 11]

La capacitancia neumática se define para un recipiente a presión y depende del tipo de proceso de expansión involucrado.

La capacidad de un recipiente a presión se puede definir como la relación de cambio en el gas almacenado para un cambio entre la presión del gas.

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Variables de Estado

Describen el estado de un sistema o de uno de sus componentes, ya sea al comienzo, al final o durante un periodo de tiempo. Estas variables interaccionan con las exógenas y las endógenas del sistema, de acuerdo a las relaciones funcionales dispuestas.

Características de las variables de Estado

Como lo menciona Ogata, Katsuhiko (1996), "Observe que las variables de estado no necesitan ser cantidades físicamente medibles u observables. Aquellas variables que no representan cantidades físicas y aquellas que no se pueden medir ni observar, se pueden seleccionar como variables de estado. Esta libertad en la selección de variables de estado es una ventaja de los métodos en el espacio de estado. Sin Variables de Estado variables de estado es una ventaja de los métodos en el espacio de estado. Sin embargo, en la práctica, lo conveniente es seleccionar cantidades fácilmente medibles como variables de estado, si esto fuera posible, ya que las leyes de control óptimo requerirán la retroalimentación de todas las variables de estado, con una adecuada ponderación." (p.294.)

1. Las variables de estado pueden tener o no sentido físico.

2. Las variables de estado pueden o no ser medibles.

3. Para un mismo sistema dinámico las variables de estado no son únicas; de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que sirvan como variables de estado.

Transformar Ecuaciones Diferenciales en Ecuaciones de Estado

De acuerdo a Universidad de Antioquia (2010), "A partir de la función de transferencia, se obtiene la ecuación diferencial, se definen las variables de estado y se busca su dinámica como indica la siguiente figura”.

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