Numeros Irracionales Y Reales

INDICE

Pág.

PORTADA ……………………………………………………………………. 1

ÍNDICE………………………………………………………………………….. 2

INTRODUCCIÓN……………………………………………………………… 3

I. NÚMEROS IRRACIONALES……………………………………………… 4

II. NÚMEROS REALES………………………………………………………. 6

BIBLIOGRAFIA WEB………………………………………………………… 19

CONCLUSION………………………………………………………………… 20

INTRODUCCION

Por medio de la presente investigación daremos a conocer puntos importantes para la resolución de problemas matemáticos en base a los números irracionales, racionales y reales. Mostrando sus propiedades, definiciones y ejemplos de cada uno.

I.NUMEROS IRRACIONALES

Definición

Son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por "I".

Operaciones de los Números Irracionales:

Adición:

Es la combinación interna de unidades decimales que se originan de una suma algebraica de dos o más sumandos.

Ej.

35,72

17,5

183,246

236,466

Sustracción:

Es la operación inversa a la suma de decimales y tiene por objeto, dados los elementos (minuendo, sustraendo y diferencia).

Ej.

57,35

- 24,41

32,94

Multiplicación:

Para multiplicar los decimales, ellos se multiplican como enteros y en el producto se separan tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores, escribiendo ceros a la izquierda si son necesarios para separar las cifras decimales.

Pero en cuanto a la unidad seguida de ceros, se recorre la coma decimal tantos lugares como ceros tengan el multiplicando, añadiendo a la derecha del numero decimal los ceros que sean precisos para poder recorrer la coma.

Ejemplos:

3,57 * 10 = 35,7.

16,7 * 100 = 1670.

25,32

x 100

2532,00

División:

Esta es efectuada si el dividendo y el divisor fueran números naturales, pero al bajar la primera cifra decimal se coloca la coma al cociente.

Ejemplo:

14,25 | 3

02 2 4,75

015

0

Ejemplos de Números Irracionales

1. √31 = 5.5677643628300219221194712989185

2. √999 = 31.606961258558216545204213985699

3. √2 = 1.41427 indefinidamente

4. π = 3,14159265358979323846

5. El número e (el número de Euler) 2,7182818284590452353602874713527

6. √5 = 2.2360679774997896964091736687313

7. √7 = 2.6457513110645905905016157536393

8. √11 = 3.3166247903553998491149327366707

9. √13 = 3.6055512754639892931192212674705

10. √122 = 11.045361017187260774210913843344

Representación gráfica de los números racionales

II. NUMEROS REALES

Definiciones

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

Todos los números racionales e irracionales. Pueden ser positivos, negativos o cero.

Incluye los números algebraicos y los transcendentes.

Una manera simple de entender los números reales es: cualquier punto de la línea de números (no sólo los enteros).

Ejemplos: 1.5, -12.3, 99, √2, π

Se llaman números "reales" porque no son números imaginarios.

Conjunto de números racionales

Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se lo designan por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales.

Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Q= { m/n , m Z, n Z, n =0 }

Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Representación Gráfica de los números racionales

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:

Si queremos escribir un número fraccionario en forma decimal, bastará con dividir el numerador por el denominador.

Ejemplo:

7/2 = 3.5

Aproximación de números reales

Si tenemos un número decimal con infinitas cifras decimales (caso de un decimal periódico puro o periódico mixto o de un número irracional) no es factible trabajar con todas ellas, de ahí que utilicemos aproximaciones para tales números.

Por ejemplo el número π = 3,141592..., tan utilizado en cálculo de longitudes de circunferencias y áreas de círculos, es un número irracional con infinitas cifras no periódicas, hemos de utilizar aproximaciones a su valor real.

3,1 3,14 3,141 3,1416

Cada uno de los números anteriores responde a una aproximación del número π (Pi).

Métodos de aproximación

Los métodos de aproximación que vamos a utilizar son:

 Truncamiento. Se eliminan, sin más, las cifras a partir de un orden considerado.

 Redondeo. Se eliminan las cifras a partir de un orden considerado, pero teniendo en cuenta que si la primera cifra eliminada es 5 o más de 5 a la última cifra decimal que se deja se le añade uno.

Aproximaciones y Errores de los Números Reales

• La expresión decimal de los números irracionales tiene infinitas cifras; por tanto, es imposible escribir un número irracional completo. Para trabajar con estos números, debemos utilizar aproximaciones, y cometer errores. El error será más pequeño cuanto más grande sea el número de cifras decimales que se vayan a tomar.

• El numero π con 8 cifras decimales es:

• π = 3,14159265...

• Si escribimos π = 3,14 hemos aproximado el valor de π hasta las centésimas. El error absoluto por defecto, para que no se cuenten las cifras siguientes, es más pequeño que una centésima.

• Si escribimos π = 3,1416 hemos aproximados el valor de π hasta las diezmilésimas. El error absoluto por exceso es más pequeño que una diezmilésima para que no se cuenten las cifras siguientes.

• El error al hacer servir una aproximación en lugar del número que representa, es la diferencia positiva entre los dos, es decir, el resultado positivo de su diferencia. Este valor se llama error absoluto:

• π = 3,14159265...; aproximación 3,14; la diferencia es: 3,14 - 3,14159265... = -0,00159265...

Este será el error absoluto.

• Juntamente con estos errores absolutos se debe considerar el error relativo. No es lo mismo equivocarse de 10 metros en la circunferencia de una fuente que de 10 metros en la longitud del ecuador de la Tierra. El error relativo es el error por unidad, es decir, el cociente entre el error absoluto y el número.

Propiedades y operaciones con los números reales

Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir números Reales.

Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan:

Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro.

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