ORIGEN Y EVOLUCION DEL CALCULO DIFERENCIAL

ORIGEN Y EVOLUCIÓN DEL CALCULO DIFERENCIAL

En sus comienzos, en el siglo XVII el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

1. Encontrar la tangente a una curva en un punto.

2. Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

3. Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

4. Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

Estos problemas matemáticos y científicos fueron estudiados y desarrollados por el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el inglés Issac Newton, dando lugar así a la creación del cálculo; sus estudios fueron por la misma época pero con enfoques diferentes. Los análisis de newton están fundamentados en investigaciones físicas (de allí que trató a las variables como "cantidades que fluyen"), lo que diferencia su teoría de la de Leibniz que mantuvo un enfoque más geométrico tratando a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). Como en esta época no se tenía la noción de qué significaba límite y mucho menos función, los fundamentos del cálculo diferencial no estaban muy sólidos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Dos siglos después las desprolijidades en los fundamentos del cálculo diferencial se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano.

Un siglo más tarde (XVII), los discípulos de Newton y Leibniz; los hermanos Bernoulli, el matemático francés Monge, LaGrange y Laplace, quien es contemporáneo de LaGrange; en gran parte de este siglo, se dedicaron a resolver múltiples problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que dio lugar a la creación de nuevas ramas dentro de las matemáticas. El cálculo de variaciones (hermanos Bernoulli), la geometría descriptiva (Monge), enfoque analítico de la mecánica (LaGrange), el cual, contribuyó al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Y posteriormente Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), obras que le dieron el sobrenombre de "el Newton francés".

A pesar de que los discípulos de Newton y Leibniz fueron muy importantes para los estudios de las matemáticas en este siglo, el gran protagonista fue el suizo Leonhard Euler denominado el matemático del siglo, por sus aportes sobre las ideas fundamentales del cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Escritor de textos sobre mecánica, cálculo y álgebra, que más adelante servirían de modelo para otros autores interesados en estos campos. El rotundo éxito de Euler y de otros matemáticos de este siglo para resolver problemas físicos como matemáticos utilizando el cálculo sirvió para poner en evidencia las falencias en el desarrollo y la justificación que tenía el cálculo en sus inicios. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de LaGrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo XIX.

Ya en el siglo XIX, un problema significativo fue la definición de la palabra función. Euler, LaGrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.

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