Oscilaciones En Una Cuerda Tensa

Oscilaciones de una cuerda tensa

Valencia Gutiérrez Elkin Darío

02 de septiembre de 2011

Resumen

En este laboratorio se estudi´o el comportamiento de las ondas es- tacionarias de una cuerda tensa y fija en ambos extremos, y la relaci´on entre las frecuencias de oscilaci´on en estado de resonancia y factores como la tensi´on, la longitud, y la densidad lineal de la cuerda. Para ello se us´o una cuerda delgada, un generador de ondas senoidales, y un juego de pesas. Se procedi´o a encontrar el valor de la frecuencia en funci´on de los factores mencionados anteriormente. Con los datos obtenidos se hicieron varias gr´aficas de las que se determin´o el com- portamiento de la frecuencia con respecto a la tensi´on, el arm´onico y la longitud de la cuerda; adem´as, se hall´o un valor experimental de la densidad de masa de la cuerda y ´este se compar´o con el te´orico. Los datos experimentales se aproximaron bastante a los te´oricos y per- mitieron concluir que la expresi´on para la frecuencia de cada modo normal de oscilaci´on es correcta, a excepci´on del comportamiento res- pecto a la tensi´on de la cuerda, ya que los datos experimentales no permitieron sacar conclusiones.

Introducci´on

En una cuerda tensa [1], las frecuencias propias de oscilaci´on est´an dadas por

f_n=2n/L √(T/μ)

Ecuación (1).

En donde en donde fn es la frecuencia del modo n de oscilaci´on, L la longitud de la cuerda, T la tensi´on de la cuerda, y µ la densidad lineal de masa de la cuerda. En el caso de f (n), la gr´afica tiene la forma de una l´ınea recta, por lo que

an+b=n/2L √(T/μ)

De lo anterior se obtiene que

μ=nT/(2L(an+b))^2

Ecuación (2).

Dado que teóricamente se usa una cuerda unidimensional, la densidad de masa (teórica) de la cuerda está dada por

μ=m/L_T

Ecuación (3).

El objetivo de esta pr´actica fue determinar los modos normales de vibraci´on de una cuerda fija en ambos extremos, y corroborar la relaci´on entre las recuencias en estado de resonancia de las cuerdas con respecto a la tensi´on, la longitud y la densidad de la cuerda.

2. Materiales y m´etodos

En este experimento se us´o un generador de ondas senoidales, una cuerda de masa m = 0,65 g y longitud L = 239 cm, y un juego de pesas. Se hizo el montaje que se muestra en las Fig. 1 y 2. Se tomaron varias mediciones cambiando uno de los par´ametros en la ecuaci´on (1). En la primera se fij´o la tensi´on en 1,47 N y la longitud en L = 0,15 cm. Se vari´o la frecuencia de oscilaci´on de las ondas sobre la cuerda para encontrar las frecuencias que correspond´ıan con los siete primeros arm´onicos. Para el siguiente caso, se dej´o constante la longitud de la cuerda y se hizo variar la tensi´on de la cuerda; se busc´o la frecuencia que le correspond´ıa al segundo arm´onico. Para el tercer caso, se fij´o la tensi´on en 1,47 N y se hiz´o variar la longitud de la cuerda; se busc´o la frecuencia que correspond´ıa al segundo arm´onico.

Los datos obtenidos se pusieron en tablas y se hicieron las gr´aficas de la frecuencia en funci´on de n, T y L. “Ver Fig. 3, 4, 5 y 6”. Con los datos de la Fig. 3 se hizo regresi´on lineal y usando la ecuaci´on (2) se encontr´o el valor experimental de µ; despu´es se compar´o este valor experimental con el te´orico dado por la ecuaci´on (3). De la Fig. 4 se encontr´o la relaci´on entre la fuerza tensora y la frecuencia. De la Fig. 5 se encontr´o la relaci´on entre f y 1/L.

Figura 1: Montaje.

Figura 2: Generador de ondas.

3. Resultados

La Fig. 3 muestra con rojo y azul a f (n) te´orica y experimental 24n, respectivamente, junto con los datos expermentales. La Fig. 4 muestra la curva te´orica y los datos experimentales de f (T). La Fig. 5 muestra la l´ınea de regresi´on 7619,041732x − 2,612193431 junto con los datos experimentales.

La Fig. 6 muestra a f (L) junto con los datos experimentales.

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