Parametrizacion

P

(de curvas y superficies)

M´ı  C C

I.  Curvas

Una parametrizacio´ n de una curva C es una funcio´ n vectorial

c : I ⊂ R −→ Rn

con la propiedad que —al variar el para´metro t ∈ I— su imagen c(t) va describiendo los puntos de C.

Una interpretacio´ n f´ısica habitual es pensar que el para´metro t representa al tiempo y que c(t)

indica en que´ posicio´ n del plano o del espacio se encuentra una part´ıcula en el instante t.

Se presentan a continuacio´ n una serie de ejemplos con la intencio´ n de aportar ideas y me´todos para describir parame´tricamente a ciertas curvas.

1. C1 :     y = 2     en    R2[pic 1][pic 2]

Los puntos de C1 son de la forma

(x, 2)

Cada valor de x produce un punto sobre la recta C1 . Es decir, la funcio´ n

c1 : R −→ R2

c1(x) = (x, 2)

es una parametrizacio´ n de C1.

2. C  : 3x − y − z = 1

2

x + y = 2

en    R3

C2 es una recta en R3, la interseccio´ n de los planos

π1 : 3x − y − z = 1       y       π2 : x + y = 2

Despejamos y de la ecuacio´ n de π2:

y = 2 − x

y lo reemplazamos en la ecuacio´ n de π1

3x − (2 − x) − z = 1

3x − 2 + x − z = 1

4x − z = 3

De aqu´ı obtenemos que

z = 4x − 3

[pic 3]

Luego, los puntos de C2 son los (x, y, z) tales que

y = 2 − x       y       z = 4x − 3 con lo cual

(x, y, z) = (x, 2 − x, 4x − 3)

= (0, 2, −3) + (x, −x, 4x)

= (0, 2, −3) + x(1, −1, 4)

es decir, C2 es la recta dirigida por el vector (1, −1, 4) que pasa por el punto (0, 2, −3). Una parametrizacio´ n de C2 es entonces

c2 : R −→ R3

c2(x) = (x, 2 − x, 4x − 3)

z

y

x[pic 4]

3. C3 :     x2 + y2 = 1     en     R2[pic 5][pic 6]

Una parametrizacio´ n de esta circunferencia es la funcio´ n

c3 : [0, 2π] −→ R2

c3 (t) = (cos t, sen t)

El para´metro t representa en este caso el a´ngulo que forma el vector de origen (0, 0) y extremo

(x, y) con el semieje positivo de las abscisas.

4. C4 :[pic 7]

x2        y2

+      = 1     en     R2

9      4[pic 8][pic 9]

Para hallar una parametrizacio´ n de esta elipse notemos que su ecuacio´ n se puede escribir en

la forma

  x  2

3[pic 10]

  y  2

+           = 1[pic 11]

2

lo que significa que un punto (x, y) ∈ C4 si y so´ lo si ( x , y ) ∈ C3 . Pero en tal caso,[pic 12][pic 13]

para un t ∈ [0, 2π].

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