Parametrización. Líneas, áreas y volúmenes

Líneas, áreas y volúmenes

Caso práctico 3

Parametrizaciones.

Comenzamos parametrizando una curva perteneciente a un plano. Para ello tenemos que hacer 0 una de las componentes dependiendo del plano en el que nos encontremos, de la siguiente manera:

Plano XY → z=0

Plano YZ → x=0

Plano XZ → y=0

La parametrización de una curva en, por ejemplo, el plano XY sería:

[pic 1]

Para rotar nuestra curva en un eje coordenado debemos multiplicar nuestra curva por la matriz de rotación correspondiente al eje en que queramos rotarla:

Rotación en el eje X

[pic 2]

Rotación en el eje Y

[pic 3]

Rotación en el eje Z

[pic 4]

El ángulo θ debe recorrer el intervalo [0, 2π] para que la revolución sea completa.

Ahora pongamos que queremos rotar la curva anterior en el eje X, por ejemplo:

Dado que nuestra curva estaba parametrizada en el plano XY, la componente z es igual a 0, lo que simplifica el resultado obtenido de la matriz de rotación, por lo tanto la superficie resultante sería:

[pic 5]

Cilindro:

Caso general

El cilindro tiene la particularidad de que sus dos primeras coordenadas están vinculadas por la ecuaciónmientras que la última puede tomar cualquier valor totalmente independiente de las dos primeras. Además, dichas coordenadas (x,y) pertenecen a la circunferencia centrada en el origen y de radio r, cuyo equivalente en coordenadas polares sería:[pic 6]

[pic 7]

Por lo tanto, la parametrización de un cilindro es:

[pic 8]

Caso específico

Buscamos un cilindro con el eje OZ, con base centrada en el origen y de radio 1. Para ello parametrizamos una curva que al rotar sobre el eje OZ simule la superficie que buscamos. Esta curva puede estar en el plano XZ o en el plano YZ, nosotros elegiremos el plano XZ, de tal manera que su parametrización será:

[pic 9]

Que al rotarla quedaría de la siguiente manera:

[pic 10]

Para la otra parametrización utilizaremos el plano YZ, siendo la curva:

[pic 11]

Ahora la rotaremos en el eje OZ, con lo que la superficie que resulta es:

[pic 12]

[pic 13]

Cono:

Nuestra curva tiene que pasar por los puntos (0,1,0) y (0,0,1), siendo este último el vértice del cono. En base a estos puntos elegimos el plano YZ, por lo que x=0. Observando los dos puntos y considerando que es una función lineal, intuimos que la parametrización de la curva para el intervalo dado es:

[pic 14]

Por lo tanto, la parametrización del cono es:

[pic 15]

Para la segunda parametrización aumentaremos la velocidad de la rotación:

[pic 16]

[pic 17]

Paraboloide:

En este apartado tenemos que rotar la parábolapara ello despejamos Y de la ecuación de la parábola, quedandoypor lo tanto la parametrización de la curva en el plano YZ es:[pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

Que, al rotarla, obtenemos la siguiente superficie:

[pic 22]

Esta vez, para la segunda parametrización utilizaremos una curva distinta, cogiendo el resultado negativo de la raíz y aumentando la velocidad de dicha parametrización:

[pic 23]

Ahora simplemente rotamos la curva:

[pic 24]

[pic 25]

Semiesfera:

Y por último parametrizaremos la cuarta parte de una circunferencia para obtener una semiesfera al rotarla sobre el eje OZ. Como decíamos al comienzo del ejercicio, el cambio de coordenadas cartesianas a polares esaunque en nuestro caso parametrizaremos la curva en el plano XZ y el intervalo de θ será [0, π/2]. Como el radio de nuestra semiesfera es 2, la curva es la siguiente:[pic 26]

[pic 27]

Como siempre, rotamos en el eje OZ:

[pic 28]

Para esta última parametrización, expresaremos la curva en el plano YZ y disminuiremos la velocidad a la mitad:

[pic 29]

Además aumentaremos la velocidad de la rotación el doble:

[pic 30]

[pic 31]

Integrales.

Línea:

Buscamos la masa de un alambre situado en la intersección entre el planoy la esferasiendo la densidad de dicho alambre el cuadrado de la distancia al plano YZ, es decir[pic 32][pic 33][pic 34]

Para hallar la masa del alambre tenemos que realizar una integral de línea de su densidad  sobre la intersección entre el plano y la esfera.

Empezaremos parametrizando la línea que representa el alambre. Despejaremos, a partir de las ecuaciones del plano y la esfera, las coordenadas y,z en función de x, quedando de la siguiente manera:

Del plano obtenemos queque al sustituir en la esfera tenemos quepor lo que, siendonos queda la siguiente ecuación vectorial:[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

Nuestra ecuación tiene dos posibles soluciones de la raíz, estas son las mitades superior e inferior de la circunferencia que forma el alambre.

Ahora delimitaremos el intervalo al que pertenece t para que la parametrización sea válida. Según la definición del dominio de la función raíz cuadrada, para que no aparezcan números imaginarios en las soluciones, ya que estos no pertenecen a R³, t debe cumplir la siguiente inecuación:

por lo tanto[pic 39][pic 40]

[pic 41]

Ahora derivamos la ecuación vectorial y hallamos el módulo de esta derivada, puesto que será utilizado para realizar la integral.

[pic 42]

Como podemos apreciar, el módulo nos devuelve el mismo resultado tanto para la mitad superior como para la inferior, por lo que el resultado de la integral será el mismo, así que multiplicaremos este resultado por 2:

[pic 43]

Ahora resolvemos la integral mediante un cambio de variabley nos queda:[pic 44]

[pic 45]

Que, al terminar, nos da la masa del alambre:

...