Areas Y Volumenes

Perímetros, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.

Perímetros y áreas de polígonos

TRIÁNGULO

El triángulo es un polígono con tres lados

Se puede calcular el perímetro y su área

PERÍMETRO: P = b + c + d

( Perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lado, y se represente con la letra P. A la mitad del perímetro se le denomina semi-perímetro y se denota con la letra p)

ÁREA: A = (b . c) / 2

(El área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la altura y se divide por 2. O bien, calculando la raíz cuadrada, positiva, de los productos del semiperímetro p, por el semiperímetro menos el primer lado b, el semiperímetro menos el segundo lado c, el semiperímetro menos el tercer lado d)

Ejemplo 1.- Calcula el área de un triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 9 cm. y la hipotenusa 15 cm.

Solución: Calculamos la longitud del otro cateto. Para ello aplicamos el teorema de Pitágoras

Como el área es el producto de la base por la altura, tenemos que:

Ejemplo 2.-Un triángulo de 180 cm2 de superficie mide 30 cm. de altura. Calcula la base

Solución: Puesto que

CUADRADO

El cuadrado es un paralelogramo que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales.

Se puede calcular el perímetro y su área

PERÍMETRO: P = 4 . a

( Perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lado, como sus cuatro lados son iguales, P = 4a )

ÁREA: A = a2

(El área de un cuadrado se calcula multiplicando la base por la altura, como en este caso miden lo mismo tenemos que el área es el lado al cuadrado, es decir a2)

Ejemplo 3 .-Calcula el área de un cuadrado de 12 dm. de lado.

Solución: Sabemos que

Ejemplo 4.-Calcula el lado de un cuadrado de 225 cm2 de superficie.

Solución:

RECTÁNGULO

Rectángulo es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales (rectos) , pero los lados adyacentes no son iguales

Se puede calcular el perímetro y su área

PERÍMETRO: P = 2 . a + 2 . b

( Perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lado P = (a + a) + (b + b)= 2a + 2b )

ÁREA: A = b . a

(El área de un rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura, es decir b . a )

Ejemplo 5.-Un rectángulo mide 16 cm. de base y 25 cm. de diagonal. Calcula su área.

Solución: Como el área de un rectángulo es base por altura, necesitamos calcular la altura, para ello aplicamos el teorema de Pitágoras. .

Por lo tanto,

ROMBO

El rombo es cuadrilátero que tiene los 4 lados iguales , y los ángulos opuestos iguales .

Se puede calcular el perímetro y su área

PERÍMETRO: P = 4 . a

(El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados, y como son todos iguales, tenemos que P = 4a )

ÁREA: A= (D . d) / 2

(El área de un rombo es igual al producto de sus diagonales ( D, d) dividido por 2 )

Ejemplo: 6.- Las diagonales de un rombo son 8,3 dm. y 6,5 dm. Calcula su área expresándola en cm2

Solución:

ROMBOIDE

El romboide es un cuadrilátero paralelogramo, cuando no es ninguno de los anteriores .

Se puede calcular el perímetro y su área

PERÍMETRO: P = 2 (b + c )

( El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados, y como son iguales dos a dos, tenemos que P = 2 (b + c )

ÁREA: A = b . a

(El área de un romboide es igual al producto de la base ( b ) por la altura ( a ) )

TRAPECIO

El Trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos .

Se puede calcular el perímetro y su área

PERÍMETRO: P = B + b + c + d

( El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados y por lo tanto la suma de la base mayor B mas la base menor b mas los lados c y d, tenemos por tanto que P = B + b + c + d )

ÁREA: A = a . (B + b)/2

(El área de un trapecio es igual al producto de la semisuma de las bases ( B + b )/2 por la altura ( a ) )

Ejemplo: 7.- Calcula el área de un trapecio de 10 y 20 cm. de bases y 15 cm. de altura

Solución: Sabemos que:

TRAPEZOIDE

Los Trapezoides son los cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a otro .

Se puede calcular el perímetro y su área

PERÍMETRO: P = a + b + c + d

(El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados y tenemos por tanto que P = a + b + c + d )

ÁREA: A = Suma de las áreas de los dos triángulos

(Para calcular su área, se divide el trapezoide en dos triángulos, trazando una diagonal, con lo cual su área es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos en los que lo hemos dividido)

POLÍGONO REGULAR

Polígono regular es el que tiene sus lados y sus ángulos todos iguales

Se puede calcular el perímetro y su área

PERÍMETRO: P = n .l

(El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados, todos iguales, y si suponemos que tiene n lados tenemos que P = n . l )

ÁREA: A = (P . a) / 2

(El área es igual al producto del perímetro, P, por la apotema, a, dividido por dos)

Nota : en el caso del hexágono regular , se puede calcular el área como la suma de 6 triángulos equiláteros , en los demás polígonos regulares se podrá calcular como la suma de triángulos isósceles.

Ejemplo: 8.- Calcula el área de:

A) Un pentágono regular de 8 cm. de lado y 6,5 cm. de apotema.

B) Un hexágono regular de 18 cm de lado

Solución: Sabemos que el área de un polígono regular es . Por lo tanto:

A) En el caso del pentágono

B) En el caso del hexágono, primero calcularíamos la apotema teniendo en cuenta que es la altura en un triángulo equilátero de lado 18 cm.

cm.

Por lo tanto, el área es =

Longitud y área de figuras circulares

CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a igual distancia) de un punto fijo denominado centro de la circunferencia

Se puede calcular el perímetro o longitud.

LONGITUD: L = 2 .  . R

ARCO

La longitud de un arco de circunferencia que abarca un ángulo central de amplitud ene-grados ( nº) o bien  radianes es:

LONGITUD: L = nº . (2R)/360 L =  . R

(La longitud de un arco de circunferencia se calcula multiplicando la longitud de la circun-ferencia ( 2 R) por el número de grados ( nº ) y se divide por ( 360 ). Si el ángulo viene expresado en radianes, entonces la longitud del arco es igual al ángulo (  ) por el radio ( R ))

CÍRCULO

Se denomina circulo a la región del plano limitada por una circunferencia

Se puede calcular el área

ÁREA: A =  R2

( Es decir, el área de un circulo es igual a  (pi) multiplicado por el radio (R) al cuadrado).

Ejemplo 9.- Una plaza de forma circular mide 137,60 m. alrededor. ¿Cuánto costará ponerle baldosas si cada m2 cuesta 7euros?

Solución: Necesitamos calcular la superficie de la plaza, para lo cual es necesario conocer su radio, cosa que podemos hacer pues nos dan la longitud y sabemos que

Por lo tanto la superficie de la plaza es:

Como cada m2 cuesta 1.200 Ptas., el costo de la plaza será de

SECTOR CIRCULAR SECTOR CIRCULAR

Se denomina sector circular a la región del plano limitada por un arco de circunferencia y dos radios de la misma.

Se puede calcular el área

ÁREA:

( Es decir, el área de un sector circular es igual a  (pi) multiplicado por el radio (R) al cuadrado dividido por 360, que son los grados de una circunferencia, multiplicada por la amplitud del ángulo (nº )).

Ejemplo 10.- Calcula el área de un sector circular de 16 cm de radio y 40º de amplitud

Solución: Puesto que

CORONA CIRCULAR

Se denomina corona circular a la región del plano limitada por dos circunferencias concéntricas

Se puede calcular el perímetro y el área

PERÍMETRO: P = 2.  (R + r)

(El perímetro es la suma de las longitudes de las dos circunferencias que la delimitan )

ÁREA: A =  (R2 - r2)

(Es

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