Pauta certamen 1 calculo multivariable
Felipe Alejandro Medina GarcíaExamen23 de Noviembre de 2022
1.504 Palabras (7 Páginas)251 Visitas
[pic 1][pic 2][pic 3]
Pauta Certamen 1 Calculo Multivariable. (220169-ICIND) Primer Semestre de 2021
Nombre:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rut:..................Secci´on:.......
Problema | 1(25 puntos) | 2 (20 puntos) | 3 (30 puntos) | 4 (25 puntos) | Total puntos | Nota (1-7) |
Puntaje Obtenido |
- (25pts.) Considere el conjunto:
} 5 5
E = (x, y) ∈ R2/ ln (x2 + y2 − 25) ∈ R ∪
,
n n n∈N[pic 4][pic 5]
- Grafique el conjunto E:
Sol: E = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 − 25 > 0} ∪ , .[pic 6]
n n n∈N
E = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 > 25} ∪ , .[pic 7]
n n n∈N
Obs: x2 + y2 > 25 corresponde al ´area exterior al circulo. (3 puntos)
La sucesi´on de puntos
5 5
, es[pic 8][pic 9]
n n n∈N
5 5 5 5 5 5
, , , , ,[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]
1 1 2 2 3 3
5 5
, 4 , 4 , · · ·[pic 16][pic 17]
[pic 18]El l´ımite de la sucesi´on es (0, 0). (3 puntos)
[pic 19]
(5 puntos)
- Halle su conjunto interior, adeherencia, acumulaci´on y frontera. Sol: Interior: E◦ = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 − 25 > 0}. (2 puntos)
Adherencia: E = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≥ 25} ∪ ,[pic 20][pic 21]
∪ {(0, 0)}. (2 puntos)
n n n∈N
Acumulaci´on: Ej = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≥ 25} ∪ {(0, 0)}. (2 puntos)
Frontera: ∂E = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = 25} ∪
∞
5 5
,
n n n=2
∪ {(0, 0)}. (2 puntos)
- ¿El dominio es abierto?, ¿es acotado? ¿es compacto?. Justifique.
Sol: E no es abierto, puesto que E
E◦. (2 puntos)
[pic 22]
E no es cerrado, puesto que E /= E. (2 puntos)
E no es compacto, puesto que no es cerrado (solo es acotado). (2 puntos)
- (20pts.) Dada la funci´on:
f : D ⊆ R2
→ R, f (x, y) =
√
16 − 4x2 − y2[pic 23]
[pic 24]
3 y
- Determine el dominio D de f y bosqueje su gra´fica. Sol: El dominio es dado por el conjunto
2 2 x2 y2
[pic 25][pic 26]
D = {(x, y) ∈ R : 16 − 4x − y
(2 puntos)
Su gra´fico es el siguiente:
≥ 0 ∧ y /= 0} = {(x, y) ∈ R:
4 + 16 ≤ 1 ∧ y 0}
[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]
(2 puntos)
- Determine si el dominio D es abierto, cerrado y/o compacto.
Sol: El conjunto D no es abierto, puesto que D◦
(3 puntos)
= {(x, y) ∈ R2 :
x2 y2
+[pic 32][pic 33]
4 16
< 1 ∧ y 0} D.
El conjunto D no es cerrado, puesto que D = {(x, y) ∈ R2 :[pic 34]
(3 puntos)
x2 y2
+[pic 35][pic 36]
4 16
≤ 1} D.
El conjunto D es acotado pero no es cerrado, por tanto, no es compacto. (2 puntos)
- Determine y grafique las curvas de nivel de la funci´on para k = −1, 1. Justifique.
Sol: Haciendo f (x, y) = k se tiene que[pic 37]
√
16 − 4x2 − y2
[pic 38]
√ √
Para k = −1 se tiene
√3 y
= −1 ⇔
16 − 4x2 − y2 = −
3y, si y < 0.
Representa la parte inferior del eje x de la curva x2 + y2 = 4. (3 puntos)
√ [pic 39]
Para k = 1 se tiene
16 − 4x2 − y2
[pic 40]
3 y[pic 41]
= 1 ⇔
√
16 − 4x2 − y2 =
3y, si y > 0. Repre-
senta la parte superior del eje x de la curva x2 + y2 = 4. (3 puntos)
...