Pauta certamen 2 Cálculo 3
Enviado por gary olivares • 7 de Mayo de 2022 • Exámen • 2.155 Palabras (9 Páginas) • 51 Visitas
[pic 1]
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
GAJ/AHN/gaj/ahn 22/01/2015
Pauta Certamen 2 Cálculo III PLEV (2025)
Problema 1 (15 puntos)
Sea 𝐾 el sólido limitado superiormente por la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2, e inferiormente por la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑎𝑧, con 𝑎 > 0. Exprese las integrales que permiten calcular el volumen de
𝐾 en coordenadas cilíndricas y esféricas. Calcule dicho volumen.
Solución.
Restando las ecuaciones de las esferas se tiene 𝑎2 = 2𝑎𝑧 ⟺ 𝑧 = 𝑎. Luego la proyección del sólido[pic 2]
2
en el plano 𝑋𝑌 está dada por 𝐷 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 3𝑎2. De donde el volumen del sólido en coordenadas[pic 3]
4
cilíndricas es:
𝑉(𝐾) = 𝑟𝑑(𝑟, 𝜃, 𝑧)
𝐾∗
[pic 4]
[pic 5] [pic 6]
Donde 𝐾∗ = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 0 ≤ 𝑟 ≤ √3𝑎 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 , 𝑎 − √𝑎2 − 𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ √𝑎2 − 𝑟2}.
2
Las ecuaciones de las esferas en coordenadas esféricas son:
𝜌 = 𝑎
𝜌 = 2𝑎 cos 𝜙
Igualando se tiene 2𝑎 cos 𝜙 = 𝑎 ⟹ 𝜙 = 𝜋. Luego en coordenadas esféricas el volumen está dado[pic 7]
3
por:
Donde:
𝑉(𝐾) = 𝜌2 sen 𝜙 𝑑(𝜌, 𝜃, 𝜙)
𝐾∗∗
𝐾∗∗ = {(𝜌, 𝜃, 𝜙) ∈ ℝ3 ∶ 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑎 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 , 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋}[pic 8]
3
𝖴 {(𝜌, 𝜃, 𝜙) ∈ ℝ3 ∶ 𝜋 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 0 , ≤ 𝜌 ≤ 2𝑎 cos 𝜙 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋}
[pic 9] [pic 10]
3 2
8 puntos por una de las dos expresiones correctas
5 puntos la expresión restante
2𝜋
( )
𝜋 𝑎
2[pic 11]
2𝜋 𝜋
2𝑎 cos 𝜙
2
𝑉 𝐾
= ∫ ∫ ∫ 𝜌
sen 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃 + ∫ ∫ ∫ 𝜌
sen 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃
0 0 0[pic 12]
1 𝑎3
8𝑎3
0 0 0
2𝜋 𝜋[pic 13]
= (2𝜋) (1 − ) ( ) +
[pic 14] [pic 15]
2
∫ ∫ cos 𝜙 sen 𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝜃
[pic 16]
2 3 3 𝜋[pic 17]
3
= 𝑎3 𝜋 + (8𝑎3 ) (2𝜋) ( 1 )[pic 18][pic 19][pic 20]
3 3 64
= 5𝑎 3 𝜋[pic 21]
12
2 puntos
OBS: También es posible usar coordenadas cilíndricas obteniéndose:
2𝜋
[pic 22]
√3𝑎 2
[pic 23]
√𝑎 2 −𝑟 2
𝑉(𝐾) = ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
0 0 𝑎−√𝑎2 −𝑟 2
2𝜋
[pic 24]
√3𝑎
2
= ∫ ∫
𝑟 (2√𝑎2 − 𝑟2 − 𝑎) 𝑑𝑟 𝑑𝜃
0 0
2 2 2 3
[pic 25]
𝑎𝑟2
[pic 26]
[pic 27]
√3𝑎 2[pic 28]
= (2𝜋) (− 3 (𝑎
− 𝑟
)2 − )|
0
= (2𝜋)[pic 29]
𝑎3 (− 12 −
3𝑎3
8 +[pic 30]
2𝑎3
3 )[pic 31]
5𝑎3𝜋
= 12[pic 32]
Bonos de 5 puntos por dibujo correcto.
Considere el campo vectorial 𝐹→ ∶ ℝ2 − {(−1,0)}⟶ ℝ2, definido por:[pic 33]
...