Calculo 1

COMPENDIO TEORICO DE LA UNIDAD 1= NUMEROS REALES

PROFESOR:

ALUMNO:

IG 102

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INDICE

1.1 Recta-------------------------------------------------2

1.2 Números reales--------------------------------------3

1.3 Propiedades de los números reales----------------3

• Ley de tricotomía

• Relación transitiva

• Densidad

• Axiomas de los números reales

1.4 - Intervalos y su representación mediante desigualdades.------------------------------------------11

1.5 Desigualdades de primer grado y cuadráticas con una incógnita-------------------------------------------12

1.6 Valor absoluto y sus propiedades.----------------17

Ejercicios con resolución propuestos por el alumno---------18

1.1 Recta

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.

Una recta tiene una sola dimensión: la longitud. Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.

Dos puntos determinan una recta.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.

Clases de recta

Secantes

Las rectas secantes se cortan en un punto.

Paralelas

Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.

Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de90º.

Coincidentes

1.2 Números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

1.3 Propiedades de los números reales

1. Interna: El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a • b

2. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

(a • b) • c = a • (b • c) (e • ) • = e • ( • )

3. Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.

a • b = b • a

4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a •1 = a • 1 =

5. Elemento inverso: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6. Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a • (b + c) = a • b + a • c • (e + ) = • e + •

7. Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a • b + a • c = a • (b + c) • e + • = • (e + )

Ley de tricotomía

En matemáticas, la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí. Sea un conjunto X parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.

En X se cumple la ley de tricotomía si para cada par de elementos x e y, se tiene una sola de las siguientes relaciones:

La ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤ sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tenga x ≤ y o y ≤ x (o ambos). Las relaciones de orden de los números naturales, enteros, racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo, la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro.

Relación transitiva

Una relación binaria sobre un conjunto es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si:

a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.

Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:

Para todo valor a, b, c numero natural: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c

Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).

Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces

Se cumple y pero no se cumple puesto que es subconjunto de .

Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.

Representación

Una relación binaria se puede representar como pares ordenados, mediante una matriz de adyacencia o mediante un grafo. Para el caso de una relación transitiva, cada una de estas representaciones tiene características especiales:

Como pares ordenados,

Como matriz de adyacencia , la matriz es tal que

Como grafo, cada vez que desde un nodo se pueda llegar a otro , pasando primero por un nodo intermedio , entonces también existirá la arista .

Densidad

Asimismo la recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina Densidad.

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