Pendiente de una recta..

Pendiente de una recta.

La pendiente de una recta es también llamada razón de cambio. Esta razón de cambio implica una relación entre una cierta distancia recorrida en el eje “y” con respecto a una cierta distancia recorrida en el eje “x”. Es decir, si realizas un cambio ∆x en la posición de un punto comparado contra su posición original, también habrá un cambio ∆y en la posición de ese punto comparado contra su posición original. A esta relación se le denomina PENDIENTE.

La pendiente para una recta está dada de la siguiente forma:

∆y

m =[pic 1]

∆x

Es decir, es la razón del cambio de y con respecto al cambio de x.

[pic 2]

Recordemos que está pendiente está dada por las “distancias” recorridas por una función, en dos puntos contenidos en sí misma (la función), SIEMPRE Y CUANDO esta función sea una línea recta.

Al observar la función de la recta inclinada, podemos observar que al marcar también las “distancias graficas” que hay entre dos puntos en ambos ejes, obtenemos un triángulo rectángulo como resultado. Recordando un poco de trigonometría, podemos recordar también que esta relación se podía encontrar en otro lugar. En trigonometría, veíamos que la relación entre una ∆y  y una ∆x se expresaba también en una función particular:

tan(8) =

∆y        Cat. Opuesto

=[pic 3][pic 4]

∆x        Cat. Adyacente

[pic 5]

Es decir, que una pendiente, es en realidad al mismo tiempo, la tangente de la inclinación (o más bien del ángulo de inclinación) de una recta. Pero una vez que sabemos que se puede calcular la pendiente directamente como una división o razón de las distancias de X y de Y, ya no es necesario utilizar la tangente.

Entonces ¿cómo podemos obtener la pendiente de una función sin conocer su gráfica? La forma más sencilla es obteniendo dos puntos de esta función al evaluarla en dos de los valores de su dominio. De la siguiente manera podemos obtener la pendiente utilizando estos dos puntos. Solo para visualizar, observemos el caso de forma gráfica:

[pic 6]

Si decimos que el punto P1 se encuentra en (3,2) y el punto P2 se encuentra en (7,4), entonces:

∆y

m =        =[pic 7][pic 8]

∆x

y2 — y1 x2  — x1

4 — 2        2        1

=        =        =[pic 9][pic 10][pic 11]

7 — 3        4        2

Obtenemos que la pendiente para esta recta es de 1/2. Esto significa que por cada movimiento de “1 punto en x” tendremos un movimiento de “1/2 punto en y”.

A continuación se muestra cómo se comporta el valor de la pendiente m para algunas líneas rectas.

[pic 12][pic 13]

Hasta ahora hemos visto como determinar la función de la forma sencilla. Sin embargo este procedimiento para determinar la pendiente de una función solo aplica si la función es una línea recta. ¿Entonces cómo podemos encontrar la pendiente de una función que no lo sea?

[pic 14]

Al intentar obtener la pendiente utilizando el mismo método, ¿de verdad tendríamos la pendiente de la función (en color naranja)? En realidad no, la pendiente obtenida sería la de una línea recta imaginaria entre los dos puntos seleccionados (en color verde en la gráfica).

Si estudiamos a detalle la función a analizar, podemos observar que en ciertas secciones  (o puntos) la pendiente es negativa, mientras que en otros la pendiente es positiva. También podemos observar que en algunos puntos la pendiente puede verse un poco más inclinada que en otros. Por lo tanto podemos llegar a la conclusión de que la pendiente de esta función, cambia dependiendo de los dos puntos del dominio, es decir de x, en que estés evaluando la pendiente. Veamos la gráfica de una función cuadrática a continuación, comparada con sus pendientes en ciertos puntos:

[pic 15][pic 16][pic 17]

Si lo ponemos de otra forma, podemos decir que la pendiente, es un valor que se obtiene como resultado de aplicar una regla o ecuación a ciertos valores variables en el eje de x. ¿Acaso no habíamos escuchado esto antes? Así es, esta era la definición de una función. Por lo tanto, si no tenemos una recta, la pendiente debe ser una función que depende de x, es decir una función m(x).

Antes de hablar acerca de cómo calcular esta pendiente, veamos la siguiente gráfica. Esta imagen es un segmento de la gráfica de una función f(x).

[pic 18]

¿Qué tipo de función crees que sea la gráfica original o completa de la que se sacó esta sección? La respuesta más común que podríamos esperar de cualquier persona seria una recta ¿Correcto?

¿Qué dirías si te digo que la función original es un círculo?

Si tienes un círculo de un radio de una magnitud muy grande digamos 10km, entonces es posible que un segmento como el del tamaño de la línea que está en esta página, pueda aparentar ser una recta cuando en realidad es un arco. Esto es algo que vemos comúnmente en la tierra. La tierra es en realidad un círculo o una esfera vista de frente, sin embargo, al tomar solo una sección del  suelo frente a ti del tamaño de unos metros, esa pieza aparenta ser una recta. De la misma forma, si tomas una función, que no es tan grande, pero la pieza que tomas para analizar es una pieza muy pequeña, obtenemos la misma situación.

Veámoslo ahora en las siguientes figuras:

[pic 19]

[pic 20]

Si vemos de esta forma que tienes un punto inicial y un punto final de esa sección muy muy pequeña que asemeja a una recta (de prácticamente el tamaño de un punto) entonces el procedimiento que obtenemos de nuevo aplica para una función, sin importar cuál sea esta, siempre y cuando esta esté siendo evaluada en “un punto”.

Si recordamos también que la definición de una pendiente nos dice que esta se calcula como la tangente del ángulo de inclinación, y recordamos también que una tangente es una línea que toca a una curva solamente en un punto entonces:

[pic 21]

De esta forma podemos ver que tanto la definición que nos dice que la tangente es una línea que toca solo en un punto a una curva es la misma definición que la que nos dice que una tangente es la pendiente de una curva.

∆y

m = tan(8) =[pic 22]

∆x

Diferenciación y derivadas

Ahora regresemos al caso anterior, tenemos una curva de la cual queremos encontrar la pendiente en cualquier punto, por lo que analizaremos dos puntos dados (x1, y1) y (x2, y2). Si acortamos la distancia entre estos dos puntos para obtener una “recta” muy pequeña, prácticamente podemos obtener un punto, por lo tanto estaremos analizando la pendiente de un punto, mientras que al   no usar números sino variables, estaremos analizando la pendiente de cualquier o  todos  los puntos en la función.

Ahora, podemos decir que en el punto P1 el valor x1  es un valor desconocido llamado x, para el  cual corresponde un punto y1 el cual es el resultado de evaluar la función f(x) en el punto x. Mientras que a P2 lo conoceremos como el punto dado por el valor x2 el cual es un valor de x+h, donde h es un valor muy pequeño ya que la distancia para que esta función sea válida debe ser muy pequeña. Por lo tanto el punto y2, es el resultado de evaluar la función en el punto x+h, es decir f(x+h).

P1  = (x1, y1) = (x, †(x))

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