Pensamiento Variacional: Una introducción a la Trigonometría

Universidad del Valle

Licenciatura en Matemáticas

Tecnologías digitales en Educación Matemática

Pensamiento Variacional: Una introducción a la Trigonometría.

David Benítez Mojica

Problema No 1 . Identidades trigonométricas.

Pregunta problema: ¿Qué son las identidades trigonométricas y cómo puedo representarlas visualmente, gráficamente y algebraicamente para entenderlas muy bien?

2.2. Entender.

a. ¿Qué es una identidad?

En matemáticas, una identidad es una igualdad que se cumple para cualquier valor de las variables involucradas. En otras palabras, una identidad es una afirmación matemática que es verdadera sin importar qué valores específicos se asignen a las variables.

Por ejemplo, la identidad más básica es la propiedad reflexiva de la igualdad, que establece que cualquier expresión es igual a sí misma. Esto se expresa como a=a para cualquier número real o variable aa.

b. ¿Qué es una identidad trigonométrica?

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran expresiones trigonométricas. Por ejemplo:

[pic 1]

c. ¿Qué es una identidad pitagórica?

Las identidades trigonométricas pitagóricas son un conjunto de relaciones trigonométricas que están vinculadas al teorema de Pitágoras. Estas identidades involucran las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente, y son útiles en el contexto de triángulos rectángulos. Esta identidades son:

 , que es verdadera para cualquier ángulo x.[pic 2]

, que es verdadera para cualquier ángulo x.[pic 3]

, que es verdadera para cualquier ángulo x.[pic 4]

e. ¿Qué nos pide el problema? Representa las identidades trigométricas visualmente, gráficamente y algebraicamente para entenderlas muy bien.

2.2. Planear.

Después de haber entendido, vamos a realizar diferentes acercamientos con la ayuda de la tecnología.:

1. Numéricos
2. Geométricos
3. Algebraicos.

2.3. Ejecutar

1. Trabajemos con la identidad: ,[pic 5]

1. Acercamiento gráfico en Geogebra defino la función f(x) = sen²(x) + cos²(x)  y observemos lo que dibuja:

[pic 6]

Para todos los valores de x , f(x) es la función constante 1.

1. Acercamiento numérico. Entraremos a Geogebra para hacer particularizaciones numéricas . En hoja de cálculo hicimos los siguientes cálculos. En todos los casos nos dio 1.

[pic 7]

1. Acercamiento Geométrico. En geogebra construimos una circunferencia de radio 1. Se traza su diámetro EF. Sea B un punto sobre la circunferencia. Se traza una perpendicular a EF que pase por G. Se traza el triángulo rectángulo ADB.

[pic 8]

Ahora construimos cuadrados sobre cada lado.

[pic 9]

Por el teorema de Pitágoras se cumple que:

[pic 10]

1. Acercamiento algebraico. Ahora usaremos un poco de trigonometría para reemplazar cada una de estas áreas por sus equivalentes.

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Regresando a :

[pic 17]

Encontramos que:

[pic 18]

1. Ahora trabajamos con la identidad. ,[pic 19]

1. Acercamiento gráfico en Geogebra defino la función f(x) = sec²(x) - tan²(x)  y observemos lo que dibuja:

[pic 20]

Para todos los valores de x , f(x) es la función constante 1.

1. Acercamiento numérico. Entraremos a Geogebra para hacer particularizaciones numéricas . En hoja de cálculo hicimos los siguientes cálculos. En todos los casos nos dio 1.

[pic 21]

1. Acercamiento Geométrico. En geogebra construimos una circunferencia de radio 1. Se traza un radio AB. Sea C un punto sobre la circunferencia. Se traza una perpendicular a AB por B . Se traza la recta AC. Sea de el corte entre estas dos rectas: Se traza el triángulo rectángulo ABD:

[pic 22]

Ahora construimos cuadrados sobre cada lado.

t[pic 23]

Por el teorema de Pitágoras se cumple que:

[pic 24]

1. Acercamiento algebraico. Ahora usaremos un poco de trigonometría para reemplazar cada una de estas áreas por sus equivalentes.

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Regresando a :

[pic 31]

Encontramos que:

,[pic 32]

1. Ahora trabajamos con la identidad. ,[pic 33]

1. Acercamiento gráfico en Geogebra defino la función f(x) = sec²(x) - tan²(x)  y observemos lo que dibuja:

[pic 34]

Para todos los valores de x , f(x) es la función constante 1.

1. Acercamiento numérico. Entraremos a Geogebra para hacer particularizaciones numéricas . En hoja de cálculo hicimos los siguientes cálculos. En todos los casos nos dio 1.

[pic 35]

1. Acercamiento Geométrico. En geogebra construimos una circunferencia de radio 1. Se traza un radio AD. Sea E un punto sobre la circunferencia. Se traza una perpendicular a AD por D . Se traza la recta AE. Sea F el corte entre estas dos rectas: Se traza el triángulo rectángulo ADF:

[pic 36]

Ahora construimos cuadrados sobre cada lado.

[pic 37]

Por el teorema de Pitágoras se cumple que:

[pic 38]

1. Acercamiento algebraico. Ahora usaremos un poco de trigonometría para reemplazar cada una de estas áreas por sus equivalentes.

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Regresando a :

[pic 45]

Encontramos que:

,[pic 46]

2.4. Visión retrospectiva

¿Cuáles son las lecciones aprendidas en este problema?

1. En las lecciones de contenido Aprendimos que es una identidad, una identidad trigonométrica, repasamos el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas.
2. Construimos sentido sobre las identidades pitagóricas explorando diferentes representaciones de las identidades.
3. Desde este punto de vista el aprendizaje no significa únicamente aprender de memoria un conjunto de conocimientos , mas bien se trata de hacer preguntas, particularizar, usar múltiples representaciones, construir conjetura,hacer conexiones.

Problema No 3. Ecuaciones trigonométricas

Enunciado del problema. Una empresa telefónica tiene dos postes uno de 3 m y otro de 5 m que se deben sembrar en una carretera horizontal, de manera perpendicular al piso a una distancia de 10 m. Por seguridad se atan los dos postes desde sus extremos con un cable de acero a un punto en el piso que queda entre los dos postes. El acero es una aleación muy costos. ¿La longitud total del cable es constante o es variable? Esto nos interesa conocerlo por costos. En caso que la longitud total del cable sea variable

1. PASO 1. Entender el problema-

1. Hagamos un diagrama que ilustre el enunciado. A continuación representamos gráficamente el enunciado:

[pic 47]

1. Con estos datos, el problema pone como condición que el punto P para asegurar los postes debe estar entre A y B y lo que pregunta es que si la longitud total de cable de acero es Variable o no.  Naturalmente si es variable interesa saber dónde ubicar a P por costos.

1. Planear

1. En un primer momento podemos hacer el gráfico en Geogebra con las medidas y condiciones que impone el problema y se indaga si para diferentes posiciones de P, la suma CP+PD es constante o es variable.
2. En un segundo momento podemos utilizar el hecho que los triángulos PAC y PBD son rectángulo par a utilizar las relaciones trigonométricas.

1. EJECUCIÓN

1. Aproximación numérica y gráfica. Utilicemos representaciones gráficas y numéricas en Geogebra.

Hacemos el dibujo con todos los datos y condiciones como está en el enununciado de geogebra. Medimos los cables y sumamos sus longitudes.  Para AP=2.63, la longitud nos dá 12.9 metros de cable:

[pic 48]

En un segundo caso, cuando AP= 3.65 la longitud total es de 12.81 metros.

 Los cual quiere decir que si hay variación.

[pic 49]

1. Aproximación usando las razones trigonométrias. Como si hay variación vamos a encontrar el mínimo usando las razones trigonométricas. Aprovechamos que los triángulos PAC y PBD son rectángulos:

[pic 50]

Utilizando la representación gráfica de la situación polémica, tenemos que.

[pic 51]

[pic 52]

Apareció un  sistema de ecuaciones trigonométrico

Si se traza una simetría del triángulo PAC con respecto al piso  y uno C´ con D:

...