Polinomios. Operaciones con polinomios

POLINOMIOS

Se denomina polinomio con coeficientes reales a expresiones algebraicas de la  forma

[pic 1], donde [pic 2] e [pic 3].

Otra forma de denotar polinomios, es mediante el uso de sumatorias, es decir

[pic 4]

Ejemplo de polinomios:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

                                          [pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Grado de un polinomio:

        Si [pic 21], [pic 22], el grado del polinomio es n, y se denota por gr(p(x))

Ejemplo:

[pic 23]

el grado del polinomio p(x) es;  gr(p(x))=5

Operaciones con polinomios:

Los polinomios son un conjunto, el cuál, al igual que los que conocemos naturales, enteros y reales, se pueden operar, es decir, al tener dos polinomios, los podemos sumar, restar, multiplicar o dividir.

Adición de polinomios.

Si [pic 24]   y  [pic 25], son polinomios, la adición se define como

[pic 26]

Ejemplo:

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

Multiplicación de polinomios.

Para multiplicar dos polinomios, es necesario utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación, es decir, debemos multiplicar cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio, y finalmente sumar los términos semejantes.

Ejemplo:

[pic 30]
[pic 31]

[pic 32]

Algoritmo de la división.

Al tener dos polinomios [pic 33] y [pic 34] con gr(p(x)) [pic 35] gr(q(x)) podemos dividir, obteniendo dos  polinomios, el primero llamado cuociente y el segundo llamado resto.

Ejemplo:

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38][pic 48][pic 49][pic 50][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Raíces y ceros de un polinomio.

Si al reemplazar un número real n por la variable del polinomio, se obtiene un valor numérico, si este valor numérico es cero, se dice que n es un cero del polinomio.

Ejemplo:

[pic 51]

[pic 52]

Si r es una raíz de la ecuación polinómica  [pic 53], entonces [pic 54] es un factor del polinomio.

Es decir, que al dividir el polinomio por [pic 55], el resto de la división es 0.

Ejemplo:

        El 1 es una raíz del siguiente polinomio.

        [pic 56]

[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

Ejercicios.

1. Si [pic 62],  [pic 63],  [pic 64]

Determinar:

1. [pic 65]
2. [pic 66]
3. [pic 67]
4. [pic 68]
5. [pic 69]
6. [pic 70]
7. [pic 71]

1. Si [pic 72], determine:  [pic 73].
2. Encontrar el cuociente y el resto cuando [pic 74]se divide entre [pic 75]
3. Comprobar que dos de las raíces de [pic 76] son 2 y –4 y hallar las raíces restantes.                                                        R: 3 y –2.
4. Resolver la ecuación [pic 77] si dos de sus raíces son 1 y 7.                                                                        R: 1, 3, 5 y 7.
5. Verificar que [pic 78]es un factor de [pic 79] y hallar los factores restantes.

R: [pic 80]

Factor de un Polinomio.

Si [pic 81]es un factor de [pic 82], entonces [pic 83]es divisible por [pic 84], en otras palabras significa que al dividir [pic 85] por [pic 86]el resto es cero.

Ejemplo:

[pic 87] es divisible por [pic 88]

[pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94]

Además a partir del algoritmo de la división, en el cuál se establecía la existencia de dos polinomios, uno llamado cuociente y otro resto, se pude verificar que el dividendo es igual al producto del divisor por el cuociente más el resto.

Ejemplo:

A partir del desarrollo anterior,

                El dividendo es:        [pic 95]

                El divisor es:                [pic 96]        

                El cuociente es:        [pic 97]

                El resto es:                0

Por ende, podemos escribir [pic 98] como [pic 99]

[pic 100]

Teorema del Resto:

Si se divide un polinomio [pic 101] por [pic 102], entonces el resto es [pic 103]

En otras palabras, se puede determinar el resto de una división (con el grado del divisor 1), evaluando en el polinomio el inverso aditivo del valor número del divisor.

Ejemplo:

Determinar el resto de la siguiente división [pic 104]

[pic 105]

[pic 106]                        [pic 107][pic 108]

A partir del teorema del resto, se puede establecer el siguiente teorema.

Teorema del Factor:

Un polinomio [pic 109] tiene un factor [pic 110] si y sólo sí [pic 111]

A partir de este teorema, se establece que, al dividir un polinomio por un factor de él, siempre el resto es igual a cero.

Ejemplo:

Determinar si  [pic 112] es factor de [pic 113].

Existen dos maneras para determinar si [pic 114]es un factor de [pic 115], la primera es dividir el polinomio y verificar que el resto luego de hacer la división es cero. La otra es a partir del teorema del resto, de la siguiente manera.

Se evalúa en [pic 116] el inverso aditivo de –3 que es 3.

[pic 117][pic 118]

[pic 119]

Ejercicios:

• Determinar el residuo de las siguientes divisiones:

        [pic 120] 

• Obtener un polinomio [pic 121] con coeficiente inicial igual a 1 y que tiene el grado  y los ceros que se indican

        Grado 3 ; ceros son : [pic 122] [pic 123] [pic 124]

        Grado 3 ; ceros son : [pic 125] [pic 126][pic 127].

        Grado 4 ; ceros son : [pic 128] [pic 129] [pic 130] [pic 131]

• Determinar si [pic 132] es un factor de los siguientes polinomios.

        [pic 133]

División Sintética:

La división sintética, nos permite desarrollar divisiones de una manera más fácil y rápida, siempre que el divisor sea de grado 1.

Reglas para aplicar la división sintética:

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