Operaciones con Monomios y Polinomios

Matemática I.                                                                                       

Operaciones con Monomios y Polinomios

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es un conjunto de: signos, números y letras que están relacionados mediantes las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potencias.

Ejemplo:    3m2n – 4mn3

                  13y2 + 4x – xy[pic 1]

Término

Se llama término de una expresión algebraica a cada una de las partes de la expresión algebraica delimitadas por el signo de suma o por el signo de resta.

Ejemplos: La expresión algebraica:

1. 3x2y                     tiene un solo término.
2. 3x2y + xy             tiene dos términos.
3. 3x2y – xy + 5z    tiene tres términos.

Monomio

El monomio es una expresión algebraica de un solo término, que cumple con  las restricciones siguientes:

• NO tiene exponentes negativos en las letras
• NO tiene exponentes fraccionarios en las letras
• NO tiene letras en el denominador

De acuerdo a la anterior definición, podemos asegurar que los siguientes 4 ejemplos son expresiones algebraicas que NO constituyen monomios:

4x-2,  4x½,   x     y    1[pic 2]

                               x   [pic 3]

Binomio, trinomio y polinomio

• Binomio es una expresión algebraica formada por DOS MONOMIOS:                3xy + 5z2
• Trinomio es una expresión algebraica formada por TRES MONOMIOS:            3xy + 5z2 – 4x
• Polinomio es una expresión algebraica formada por DOS O MÁS MONOMIOS:

         3xy + 5z2                   y                   5x2y – 5x3 + z – 5

Coeficiente numérico y factor literal

El coeficiente numérico es la parte del monomio que esta conformada por el signo y los números.  

El factor literal es la parte del monomio que esta conformada por las letras y sus exponentes.

Por ejemplo, en el monomio:

   a)     25x2y       el coeficiente numérico es   25 y el factor literal es x2y

   b)  - 25x2y3z    el coeficiente numérico es –25 y el factor literal es x2y3z

Grados del monomio

El monomio tiene el grado con respecto a una variable y tiene el grado global.

El grado del monomio con respecto a una variable es el exponente de la variable en cuestión, por ejemplo, sea el monomio 3x2y3z, el grado de este monomio con respecto a la variable X es 2, con respecto a la variable Y es 3 y con respecto a la variable Z es 1.

El grado global de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus letras, es decir es la suma de los exponenetes del factor literal, en el ejemplo anterior, el monomio tiene grado global 6, pues es la suma de 2 + 3 +1. que son los exponentes de “x”, “y” y “z” respectivamente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo componen, por ejemplo 3ab – 5a2b2c tiene grado 5, pues se trata de un binomio donde el primer  monomio es de grado 2 y el segundo monomio es de grado 5, por lo tanto el grado mayor entre 2 y 5 es 5, evidentemente.

Monomios semejantes

Se dice que dos o más monomios son semejantes si tienen el mismo factor literal.

Operaciones con monomios

En las operaciones con monomios debe tenerse en cuenta siempre la Ley de los Signos y las propiedades de las potencias.

• Suma y resta de monomios

Para sumar o restar monomios, es necesario que los monomios sean monomios semejantes.

El proceso consiste en sumar o restar los coeficiente numéricos, según sea el caso, obteniéndose un resultado, al cual se le acompaña con el mismo factor literal.

Ejemplos:

5 a2y + 6 a2y = 11 a2y              5 a2y - 6 a2y = - a2y

Es posible que hayan varios monomios que sean semejantes, entonces hay que operar con cada grupo por separado.

Ejemplos:

      3 xy + 7 by – 8 a2y + 5 xy  – 3 by – 4xy + 10 a2y

Reordenando los monomios:

 =  3 xy + 5 xy – 4xy + 7by – 3 by – 8 a2y + 10 a2y  

Resulta que los tres primeros son semejantes, luego el cuarto con el quinto y finalmente los dos últimos, por lo tanto se realiza la operación con los tres grupos:

1. 3 xy + 5 xy – 4xy = 4 xy
2. 7by – 3 by = 4 by
3. - 8 a2y + 10 a2y  = 2 a2y

Entonces el resultado del ejemplo es:

3 xy + 7 by – 8 a2y + 5 xy  – 3 by – 4xy + 10 a2y = 4 xy + 4 by + 2 a2y

Si hay paréntesis, primero se deben eliminar antes de hacer la operación de suma o resta.

Si el paréntesis esta precedido del signo menos, al quitar el paréntesis cambia de signo todo lo que esta dentro del paréntesis.

Ejemplo:

– (7xy + 2 ab) + (4 xy – 3 ab +  5 x2y)

Se quitan los paréntesis: – 7 xy – 2 ab + 4 xy – 3 ab +  5 x2y.

Observe que sólo cambian de signos los dos primeros monomios, pues estaban dentro de un paréntesis precedido con el signo menos.

Ahora, organicemos los monomios semejantes:

– 7 xy + 4 xy – 2 ab – 3 ab +  5 x2y, son semejantes los dos primeros y los dos siguientes, el último no tiene términos semejantes, luego el resultado es el siguiente:

– 3 xy – 5 ab +  5 x2y

Si el paréntesis esta precedido por un factor, entonces primero se debe multiplicar el factor por todos los elementos que están dentro del paréntesis, hay que tener en cuenta la Ley de los Signos.

Ejemplo:

3 (x + 2) – 5 (2x – y) = 3x + 6 – 10x + 5y = 5y – 7x + 6

• Multiplicación y división de monomios

Para multiplicar o dividir los monomios se multiplican o dividen los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, debe tenerse en cuenta la Ley de los Signos.

Ejemplos:[pic 4]

- 6x2y3     2 xy =  - 12 x3y4                       - 6x2y3       2 xy =  - 3 xy2    [pic 5]

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